例题1：圆形区域上的极坐标积分
计算积分：
$$ \iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} dxdy $$
其中 D 是以原点为中心、半径为 1 的圆盘。
步骤1：确定积分区域
- 区域 D：圆形区域，半径 R = 1
- 在极坐标下：0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π
步骤2：坐标转换
- 极坐标转换：x = r cosθ，y = r sinθ
- 被积函数转换：
$$ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{r^2 \cos^2θ + r^2 \sin^2θ}} = \frac{1}{\sqrt{r^2}} = \frac{1}{r} $$
步骤3：面积元素转换
$$ dxdy = r dr dθ $$
步骤4：建立极坐标积分
$$ \iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} dxdy = \int_0^{2π} \int_0^1 \frac{1}{r} \cdot r dr dθ = \int_0^{2π} \int_0^1 1 dr dθ $$
步骤5：计算积分
- 内层积分：
$$ \int_0^1 1 dr = [r]_0^1 = 1 – 0 = 1 $$ - 外层积分：
$$ \int_0^{2π} 1 dθ = [θ]_0^{2π} = 2π – 0 = 2π $$
最终答案：
$$ 2π $$
（出处：
例题2：四分之一圆盘上的积分
计算积分：
$$ \iint_S y^3 dS $$
其中 S 是半径为 1 的四分之一圆盘（第一象限部分）。
步骤1：确定积分区域
- 区域 S：第一象限的四分之一圆盘
- 边界：x² + y² = 1，x ≥ 0，y ≥ 0
- 在直角坐标下：0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ √(1 – x²)
- 先对 y 积分
- 外层变量：x，范围是常数：0 ≤ x ≤ 1
- 内层变量：y，范围依赖于 x：0 ≤ y ≤ √(1-x²)
- 积分形式：
$\int_{x=0}^1\int_{y=0}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)dydx$
- 先对 x 积分
- 外层变量：y，范围是常数：0 ≤ y ≤ 1
- 内层变量：x，范围依赖于 y：0 ≤ x ≤ √(1-y²)
- 积分形式：
$\int_{y=0}^1\int_{x=0}^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)dxdy$
步骤2：建立直角坐标积分
$$ \iint_S y^3 dS = \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{\sqrt{1-x^2}} y^3 dy dx $$
步骤3：计算内层积分
$$ \int_{y=0}^{\sqrt{1-x^2}} y^3 dy = \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{\sqrt{1-x^2}} = \frac{(1-x^2)^2}{4} = \frac{1 – 2x^2 + x^4}{4} $$
步骤4：计算外层积分
$$ \int_{x=0}^1 \frac{1 – 2x^2 + x^4}{4} dx = \frac{1}{4} \int_0^1 (1 – 2x^2 + x^4) dx $$
步骤5：逐项积分
$$ \frac{1}{4} \left[ x – \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{4} \left( 1 – \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{15 – 10 + 3}{15} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{15} = \frac{2}{15} $$
最终答案：
$$ \frac{2}{15} $$
（出处：
例题3：极坐标下的高斯积分
证明：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{π} $$
步骤1：平方积分
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx $$
$$ I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dxdy $$
步骤2：转换为极坐标
- x² + y² = r²
- dxdy = r dr dθ
- 积分区域：整个平面，在极坐标下：0 ≤ r ≤ ∞，0 ≤ θ ≤ 2π
步骤3：建立极坐标积分
$$ I^2 = \int_0^{2π} \int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr dθ $$
步骤4：计算内层积分（使用代换法）
令 u = r²，则 du = 2r dr，即 r dr = du/2
当 r = 0 时，u = 0
当 r → ∞ 时，u → ∞
$$ \int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr = \int_0^{\infty} e^{-u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [ -e^{-u} ]_0^{\infty} = \frac{1}{2} (0 – (-1)) = \frac{1}{2} $$
步骤5：计算外层积分
$$ I^2 = \int_0^{2π} \frac{1}{2} dθ = \frac{1}{2} [θ]_0^{2π} = \frac{1}{2} \cdot 2π = π $$
步骤6：取平方根
$$ I = \sqrt{π} $$
最终答案：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{π} $$
（出处：
例题4：扇形区域上的积分
计算积分：
$$ \iint_D (x^2 + y^2) dxdy $$
其中 D 是由射线 θ = 0，θ = π/4 和圆 r = 2 所围成的扇形区域。
步骤1：确定积分区域
- 区域 D：扇形区域
- 极坐标范围：0 ≤ r ≤ 2，0 ≤ θ ≤ π/4
步骤2：坐标转换
- x² + y² = r²
- dxdy = r dr dθ
步骤3：建立极坐标积分
$$ \iint_D (x^2 + y^2) dxdy = \int_0^{\pi/4} \int_0^2 r^2 \cdot r dr dθ = \int_0^{\pi/4} \int_0^2 r^3 dr dθ $$
步骤4：计算内层积分
$$ \int_0^2 r^3 dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \frac{16}{4} – 0 = 4 $$
步骤5：计算外层积分
$$ \int_0^{\pi/4} 4 dθ = 4 [θ]_0^{\pi/4} = 4 \cdot \frac{π}{4} = π $$
最终答案：
$$ π $$
例题5：环形区域上的积分
计算积分：
$$ \iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} dxdy $$
其中 D 是环形区域：1 ≤ x² + y² ≤ 4
步骤1：确定积分区域
- 区域 D：环形区域，内半径 1，外半径 2
- 极坐标范围：1 ≤ r ≤ 2，0 ≤ θ ≤ 2π
步骤2：坐标转换
- x² + y² = r²
- 被积函数：1/(x² + y²) = 1/r²
- dxdy = r dr dθ
步骤3：建立极坐标积分
$$ \iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} dxdy = \int_0^{2π} \int_1^2 \frac{1}{r^2} \cdot r dr dθ = \int_0^{2π} \int_1^2 \frac{1}{r} dr dθ $$
步骤4：计算内层积分
$$ \int_1^2 \frac{1}{r} dr = [\ln r]_1^2 = \ln 2 – \ln 1 = \ln 2 $$
步骤5：计算外层积分
$$ \int_0^{2π} \ln 2 dθ = \ln 2 [θ]_0^{2π} = \ln 2 \cdot 2π = 2π \ln 2 $$
最终答案：
$$ 2π \ln 2 $$
关键知识点总结
- 极坐标转换公式：
$$ x = r \cos θ, \quad y = r \sin θ, \quad x^2 + y^2 = r^2 $$ - 面积元素转换：
$$ dxdy = r dr dθ $$ - 积分区域确定：
- 圆形区域：0 ≤ r ≤ R，0 ≤ θ ≤ 2π
- 扇形区域：0 ≤ r ≤ R，α ≤ θ ≤ β
- 环形区域：R₁ ≤ r ≤ R₂，0 ≤ θ ≤ 2π
- 常用代换：
- 对于 e^{-r²} 类型的积分，使用 u = r² 代换
这些例题涵盖了极坐标积分的主要应用场景，通过逐步计算展示了从直角坐标到极坐标的转换过程和积分技巧。
（所有推导基于
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