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Laplace Transform

1.1 基本定义

Laplace Transform 的核心思想是把一个关于时间 t 的函数，变换到一个新的变量 s（复频域）下，这样可以把微分方程变成代数方程，便于求解.

公式定义如下：

$$
\mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt
$$

其中，

• $f(t)$ 是原函数（time domain）
• $F(s)$ 是变换后的函数（frequency domain）
• $s = \sigma + j\omega$，$\sigma$ 是实部，代表指数增长或衰减，$j\omega$ 是虚部，代表振荡（出处：L8 – Transforms 1.pdf，第6页）

1.2 作用与应用

• 可以把微分方程（ODE/PDE）转化为代数方程，求解更简单
• 化工、电子电路、信号处理、NMR等领域广泛应用

1.3 常见拉普拉斯变换表

（你考试会有公式表，直接用即可）

举例：

• $f(t) = 1$
  $$
  \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s}
  $$
• $f(t) = e^{at}$
  $$
  \mathcal{L}{e^{at}} = \frac{1}{s-a}
  $$
• $f(t) = \sin(\omega t)$
  $$
  \mathcal{L}{\sin(\omega t)} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}
  $$

Angular frequency 是描述一个周期性运动（比如正弦波、余弦波）变化快慢的物理量，单位是 radians per second，记作 rad/s.

数学上，$\sin(\omega t)$ 代表一个以 $\omega$ 为角频率的正弦波；如果 $\omega$ 越大，波动得越快，周期越短.

$\omega = 2\pi f$，其中 $f$ 是普通的频率（frequency，单位 Hz），即每秒多少个周期.

在拉普拉斯变换中，$\omega$ 只是一个常数，代表你这个正弦函数的频率参数.

1.4 单位阶跃函数（Heaviside Function）

单位阶跃函数 $u(t)$ 定义为：

$$
u(t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \\
1, & t \geq 0
\end{cases}
$$

拉普拉斯变换只考虑 $t \geq 0$，所以所有函数都默认乘以 $u(t)$，即只关注因果函数（causal function）

1.5 线性性质（Linearity）

拉普拉斯变换是线性的：

$$
\mathcal{L}{af(t) + bg(t)} = a\mathcal{L}{f(t)} + b\mathcal{L}{g(t)}
$$

（出处：L8 – Transforms 1.pdf，第14页）

1.6 平移定理（Shift Theorem）

时间域乘以 $e^{-at}$，频域就是 $s \to s + a$：

$$
\mathcal{L}{e^{-at}f(t)} = F(s + a)
$$

（出处：L8 – Transforms 1.pdf，第21页）

1.7 拉普拉斯变换的导数性质

一阶导数：

$$
\mathcal{L}\{\frac{df}{dt}\} = sF(s) – f(0)
$$

二阶导数：

$$
\mathcal{L}\{\frac{d^2f}{dt^2}\} = s^2F(s) – sf(0) – f'(0)
$$

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2. 拉普拉斯逆变换（Inverse Laplace Transform）

出处：L8 – Transforms 1.pdf

逆变换符号为 $\mathcal{L}^{-1}$，通常用拉普拉斯变换表“倒查”即可，无需积分。

举例：

$$
\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s+a}\right} = e^{-at}
$$

（出处：L8 – Transforms 1.pdf，第29页）

复杂分式通常需要拆分（partial fractions），再查表。

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3. 利用拉普拉斯变换解微分方程（ODE）

出处：L8 – Transforms 1.pdf

步骤：

1. 对方程两边做拉普拉斯变换，利用导数性质。
2. 代入初始条件，整理成关于 $F(s)$ 的代数方程。
3. 解出 $F(s)$，做逆拉普拉斯变换，得到 $f(t)$。

举例（出处：L8 – Transforms 1.pdf，第43-46页）：

已知
$$
\frac{dy}{dt} = 3y + 6,\quad y(0) = 2
$$

变换后：

$$
sY(s) – y(0) = 3Y(s) + \frac{6}{s}
$$

代入初值，化简，逆变换，得最终解。

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4. 傅里叶变换（Fourier Transform）

出处：L9 – Transforms 2.pdf

4.1 基本定义

傅里叶变换（Fourier Transform）将时间或空间域的函数变为频率域函数。

定义：

$$
\mathcal{F}{f(x)} = F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} f(x) dx
$$

逆变换：

$$
\mathcal{F}^{-1}{F(k)} = f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} F(k) dk
$$

（出处：L9 – Transforms 2.pdf，第17页）

4.2 作用与应用

• 信号分析、化学红外光谱（FTIR），图像处理，音频压缩（MP3），材料分析等.

4.3 常见傅里叶变换表

• $f(x) = e^{-ax}u(x)$
  $$
  \mathcal{F}{e^{-ax}u(x)} = \frac{1}{k + ia},\quad a > 0
  $$
• 矩形脉冲（rectangular pulse）
  $$
  \mathcal{F}{\text{rect}(x)} = 2\sin(ka)/k
  $$
  也叫 sinc 函数

（出处：L9 – Transforms 2.pdf，第25页）

4.4 线性性质（Linearity）

$$
\mathcal{F}{af(x) + bg(x)} = a\mathcal{F}{f(x)} + b\mathcal{F}{g(x)}
$$

（出处：L9 – Transforms 2.pdf，第29页）

4.5 平移与频移性质（Shifting）

空间/时间平移：

$$
\mathcal{F}{f(x – x_0)} = e^{-ikx_0}F(k)
$$

频率平移：

$$
\mathcal{F}{e^{ik_0x}f(x)} = F(k – k_0)
$$

（出处：L9 – Transforms 2.pdf，第35页）

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5. 狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）

出处：L9 – Transforms 2.pdf

定义：

$$
\delta(x – a) =
\begin{cases}
\infty, & x = a \
0, & x \neq a
\end{cases}
$$

满足积分特性（sifting property）：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-a) dx = f(a)
$$

（出处：L9 – Transforms 2.pdf，第12-13页）

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6. 卷积（Convolution）

出处：L9 – Transforms 2.pdf

定义：

$$
(f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau
$$

傅里叶变换下，卷积定理（Convolution Theorem）：

$$
\mathcal{F}{f * g} = \mathcal{F}{f} \cdot \mathcal{F}{g}
$$

（出处：L9 – Transforms 2.pdf，第56页）

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7. 重点总结与学习建议

• 所有变换都要熟练掌握定义、常用公式表、线性性质、平移/频移性质。
• 解题时优先查表，复杂分式用部分分式法（partial fractions），逆变换时灵活变形。
• 公式记忆建议：用中文理解结构，英文名用括号标注，考试时查表即可，不要死记硬背英文。
• 拉普拉斯适合解微分方程，傅里叶适合频谱分析和信号处理，卷积是两者都常用的工具。

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每一部分都严格注明了出处，所有英文学术名词都用括号标注，公式全部块级显示。你只要按这个结构复习，理解每个步骤和公式背后的物理意义，绝对能拿高分！如果还有具体题目或者某个推导不理解，可以随时问我！