一、凝固基础：形核与长大（Task1）
1. 形核核心公式与规律
形核的关键是形核自由能（nucleation free energy），异质形核（heterogeneous nucleation）的自由能公式为：\(\Delta G^* = \frac{1}{2} V^* \Delta G_v^{L \to S}\)
其中，\(V^*\) 是晶核体积（nucleus volume），\(\Delta G_v^{L \to S}\) 是液固转变的单位体积吉布斯自由能变化（Gibbs free energy change per unit volume for liquid-to-solid transition）。
- 规律：形核需要的过冷度（degree of undercooling）远大于长大所需（nucleation requires significantly higher undercooling than growth），纯金属（pure metal）和共晶合金（eutectic alloy）的长大过冷度极小，近乎在熔点（melting temperature, \(T_M\)）发生，而形核多为异质形核，过冷度较小。
2. 长大速率公式与控制因素
长大速率（growth rate, R）由热扩散或溶质扩散控制，平面界面（planar interface）的长大速率公式为：\(R = \frac{\overline{\kappa}}{L \rho} \cdot (G_S – G_L)\)
其中，\(\overline{\kappa}\) 是平均热导率（average thermal conductivity），L 是凝固潜热（latent heat of solidification），\(\rho\) 是金属密度（density of metal），\(G_S\) 是固相温度梯度（solid temperature gradient），\(G_L\) 是液相温度梯度（liquid temperature gradient）。
- 扩散控制的长大速率还满足：
- 溶质扩散（solute diffusion）：\(R \propto \frac{1}{\sqrt{D_L t}}\)（\(D_L\) 为液相溶质扩散系数，t 为时间）；
- 热扩散（thermal diffusion）：\(R \propto \frac{1}{\sqrt{\alpha t}}\)（\(\alpha\) 为热扩散系数，thermal diffusivity）。
二、铸造微观结构：枝晶形成与界面稳定性（Task2）
1. 枝晶间距与冷却速率的关系
枝晶间距（dendrite arm spacing）直接影响微观偏析（microsegregation），核心公式为：
（1）一次枝晶间距（primary dendrite arm spacing, \(\lambda_1\)）
\(\lambda_1 \propto \left( \frac{\Delta T_o D_L \Gamma}{k} \right) \cdot \left( \frac{1}{R^{\frac{1}{4}} G_L^{\frac{1}{2}}} \right)\)
其中，\(\Delta T_o\) 是平衡凝固温度区间（equilibrium solidification temperature range），\(\Gamma\) 是吉布斯 – 汤姆逊系数（Gibbs-Thomson coefficient），k 是溶质分配系数（partition coefficient），R 是生长速率。
（2）二次枝晶间距（secondary dendrite arm spacing, \(\lambda_2\)）
\(\lambda_2 \propto (\dot{T})^{-\frac{1}{n}}\)
其中，\(\dot{T}\) 是冷却速率（cooling rate），n 为常数（通常取 1-2）。
- 规律：冷却速率越快，\(\lambda_2\) 越小，微观偏析尺度越小，材料力学性能越好。
2. Constitutional Supercooling 的判断
当合金凝固时，固液界面前方溶质富集导致液相线（liquidus, \(T_L\)）降低，若液态温度梯度 \(G_L\) 小于液相线随成分变化的斜率，液体发生成分过冷，平面界面失稳形成枝晶。核心判断依据为：\(G_L < \frac{m_L R (1 – k) C_0}{D_L k}\)
其中，\(m_L\) 是液相线斜率（slope of liquidus line），\(C_0\) 是合金初始溶质浓度（initial solute concentration）。
三、多相凝固：包晶与共晶（Task3）
1. 包晶凝固的扩散距离公式
包晶反应（peritectic reaction：\(L + \alpha \to \beta\)）的速率由固相扩散控制，扩散距离（diffusion distance, \(\overline{x}\)）公式为：\(\overline{x} = \sqrt{2 D_S t}\)
其中，\(D_S\) 是固相溶质扩散系数（solid solute diffusion coefficient），t 是凝固时间（solidification time）。
- 示例：Fe-C 合金中，\(D_{C}^{\gamma}(1495^\circ C) = 9.3 \times 10^{-10} \, m^2/s\)，典型凝固时间 \(t=60s\) 时，\(\overline{x} \approx 0.33mm\)，大于二次枝晶间距 \(\lambda_2\)，接近平衡；而 Cu-Zn 合金中 \(D_{Zn}^{\beta}(900^\circ C) = 2.1 \times 10^{-15} \, m^2/s\)，\(\overline{x} \approx 0.5\mu m << \lambda_2\)，形成非平衡组织。
2. 共晶凝固的间距公式
共晶生长（eutectic growth：\(L \to \alpha + \beta\)）是扩散耦合生长（diffusion-coupled growth），共晶间距（eutectic spacing, \(\overline{\lambda}\)）与生长速率 R 的关系为：\(\overline{\lambda}^2 R = 常数\)
- 规律：冷却速率越快（R 越大），\(\overline{\lambda}\) 越小，共晶组织越细小，力学性能越好。
四、重新总结：考试必备公式 + 易错点（完整版）
（一）核心公式汇总（按知识点分类）
| 知识点 | 公式 | 符号含义（关键英文术语） |
|---|---|---|
| 异质形核自由能 | \(\Delta G^* = \frac{1}{2} V^* \Delta G_v^{L \to S}\) | \(V^*\)：晶核体积（nucleus volume）；\(\Delta G_v^{L \to S}\)：液固转变吉布斯自由能变化 |
| 平面界面长大速率 | \(R = \frac{\overline{\kappa}}{L \rho} \cdot (G_S – G_L)\) | \(\overline{\kappa}\)：平均热导率；\(G_S\)：固相温度梯度；\(G_L\)：液相温度梯度 |
| 扩散控制生长速率 | \(R \propto \frac{1}{\sqrt{D_L t}}\)（溶质）；\(R \propto \frac{1}{\sqrt{\alpha t}}\)（热） | \(D_L\)：液相扩散系数；\(\alpha\)：热扩散系数；t：时间 |
| 一次枝晶间距 | \(\lambda_1 \propto \left( \frac{\Delta T_o D_L \Gamma}{k} \right) \cdot \left( \frac{1}{R^{\frac{1}{4}} G_L^{\frac{1}{2}}} \right)\) | \(\Delta T_o\)：平衡温度区间；\(\Gamma\)：吉布斯 – 汤姆逊系数；k：分配系数 |
| 二次枝晶间距 | \(\lambda_2 \propto (\dot{T})^{-\frac{1}{n}}\) | \(\dot{T}\)：冷却速率（cooling rate）；n：常数 |
| 固相扩散距离 | \(\overline{x} = \sqrt{2 D_S t}\) | \(D_S\)：固相扩散系数；t：凝固时间 |
| 共晶间距与生长速率 | \(\overline{\lambda}^2 R = 常数\) | \(\overline{\lambda}\)：共晶间距；R：生长速率 |
（二）高频易错点（英文拼写 + 概念混淆）
- 术语拼写错误：
- 成分过冷：constitutional supercooling（非 “constituational”）；
- 共晶：eutectic（非 “eutectic”）；
- 枝晶：dendrite（非 “dendrite”）；
- 包晶：peritectic（非 “peritectic”）。
- 概念混淆：
- 成分过冷 vs 热过冷：成分过冷是溶质再分配导致（仅合金），热过冷是温度低于熔点导致（纯金属 + 合金）；
- 包晶 vs 共晶反应：包晶是 \(L + \alpha \to \beta\)（三相→一相），共晶是 \(L \to \alpha + \beta\)（一相→三相）；
- 异质形核 vs 均质形核：异质形核依赖铸型壁等核心（低过冷度），均质形核无核心（高过冷度，实际中少见）。
- 公式适用场景错误：
- 扩散距离公式 \(\overline{x} = \sqrt{2 D_S t}\) 仅适用于固相扩散控制的过程（如包晶）；
- 共晶间距公式 \(\overline{\lambda}^2 R = 常数\) 仅针对共晶合金，不适用于纯金属或亚共晶合金。
0 条评论