常见函数的拉普拉斯变换推导过程（含详细计算与学术名词标注）

拉普拉斯变换的核心定义式为：
$$\mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = F(s)$$
其中：

• $\mathcal{L}$：拉普拉斯变换算子（Laplace Transform Operator）
• $f(t)$：时域函数（Time Domain Function），小写字母表示
• $F(s)$：频域结果（Frequency Domain Result），对应$f(t)$的大写字母表示
• $s = \sigma + i\omega$：复变量（Complex Variable），$\sigma$为实部（Real Part），$\omega$为角频率（Angular Frequency），$i = \sqrt{-1}$为虚数单位（Imaginary Unit）

1. Constant Function：$f(t) = 1$（$t \geq 0$）

步骤1：代入拉普拉斯变换定义式

将$f(t) = 1$代入核心公式，得到待求积分：
$$\mathcal{L}{1} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \times 1 dt = \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt$$

步骤2：Definite Integral

（1）应用指数函数积分公式

指数函数的基本积分公式为：
$$\int e^{kt} dt = \frac{1}{k} e^{kt} + C$$
（$k$为常数，$C$为积分常数（Integration Constant））
此处$k = -s$，因此：
$$\int e^{-st} dt = \frac{1}{-s} e^{-st} + C = -\frac{1}{s} e^{-st} + C$$

（2）Newton-Leibniz Formula

定积分计算规则：$\int_{a}^{b} F'(t) dt = F(b) – F(a)$，即：
$$\int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \left. -\frac{1}{s} e^{-st} \right|_{0}^{\infty}$$ “$\left. F(t) \right|_{a}^{b}$”表示“$F(b) – F(a)$”，展开得：
$$\int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \left( -\frac{1}{s} e^{-s \cdot \infty} \right) – \left( -\frac{1}{s} e^{-s \cdot 0} \right)$$

步骤3：Convergence Condition

积分结果需为有限值（收敛），需满足$\lim_{t \to \infty} e^{-st} = 0$：

• 因$s = \sigma + i\omega$，$e^{-st} = e^{-\sigma t} \cdot e^{-i\omega t}$；
• $e^{-i\omega t} = \cos\omega t + i\sin\omega t$（欧拉公式（Euler’s Formula）），其绝对值恒为1（仅振荡，无衰减/增长）；
• 因此$\lim_{t \to \infty} e^{-st} = 0$的关键是$e^{-\sigma t} \to 0$，需$\sigma > 0$（即$s > 0$，因$\sigma$是$s$的实部）。

当$s > 0$时：

• $\lim_{t \to \infty} e^{-st} = 0$（指数衰减）；
• $e^{-s \cdot 0} = e^0 = 1$（任何数的0次幂为1）。

代入积分结果：
$$\int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \left( -\frac{1}{s} \times 0 \right) – \left( -\frac{1}{s} \times 1 \right) = \frac{1}{s}$$

最终结果

$$\mathcal{L}{1} = \frac{1}{s} \quad (s > 0, \text{收敛条件})$$

2. Exponential Function：$f(t) = e^{at}$（$a > 0$为常数）

步骤1：代入拉普拉斯变换定义式

将$f(t) = e^{at}$代入核心公式：
$$\mathcal{L}{e^{at}} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \times e^{at} dt$$

步骤2：Exponential Term

根据指数运算法则$e^m \cdot e^n = e^{m+n}$，合并$e^{-st}$与$e^{at}$：
$$e^{-st} \cdot e^{at} = e^{-(s – a)t}$$
积分简化为：
$$\mathcal{L}{e^{at}} = \int_{0}^{\infty} e^{-(s – a)t} dt$$

步骤3：计算定积分

（1）应用指数积分公式

令$k = -(s – a)$，则：
$$\int e^{-(s – a)t} dt = \frac{1}{-(s – a)} e^{-(s – a)t} + C = -\frac{1}{s – a} e^{-(s – a)t} + C$$

（2）代入牛顿-莱布尼茨公式

$$\int_{0}^{\infty} e^{-(s – a)t} dt = \left. -\frac{1}{s – a} e^{-(s – a)t} \right|_{0}^{\infty}$$

步骤4：分析收敛条件

需满足$\lim_{t \to \infty} e^{-(s – a)t} = 0$：

• 若$-(s – a) < 0$（即$s – a > 0$），则$e^{-(s – a)t}$随$t$增大而衰减至0，积分收敛。

当$s > a$时：

• $\lim_{t \to \infty} e^{-(s – a)t} = 0$；
• $e^{-(s – a) \cdot 0} = 1$。

代入积分结果：
$$\int_{0}^{\infty} e^{-(s – a)t} dt = \left( -\frac{1}{s – a} \times 0 \right) – \left( -\frac{1}{s – a} \times 1 \right) = \frac{1}{s – a}$$

推论：$f(t) = e^{-at}$的拉普拉斯变换

将上述结果中的$a$替换为$-a$（替换规则（Substitution Rule）），则：
$$\mathcal{L}{e^{-at}} = \int_{0}^{\infty} e^{-(s + a)t} dt$$

收敛条件变为$s + a > 0$（即$s > -a$），积分结果为：
$$\mathcal{L}{e^{-at}} = \frac{1}{s + a}$$

最终结果

1. $f(t) = e^{at}$：
   $$\mathcal{L}{e^{at}} = \frac{1}{s – a} \quad (s > a, \text{收敛条件})$$
2. $f(t) = e^{-at}$：
   $$\mathcal{L}{e^{-at}} = \frac{1}{s + a} \quad (s > -a, \text{收敛条件})$$

3. 幂函数（Power Function）：$f(t) = t^n$（$n$为非负整数（Non-negative Integer））

基础工具：分部积分法（Integration by Parts）

若积分形式为$\int u(t) \cdot v'(t) dt$，则：
$$\int u(t) v'(t) dt = u(t) v(t) – \int v(t) u'(t) dt$$

• $u(t)$：第一部分（优先选导数可降次的函数，如幂函数）
• $v'(t)$：第二部分（优先选积分易计算的函数，如指数函数）
• $u'(t)$：$u(t)$的导数（Derivative）
• $v(t)$：$v'(t)$的积分（Integral）

特例1：$n = 1$，即$f(t) = t$

步骤1：代入拉普拉斯变换定义式

$$\mathcal{L}{t} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \times t dt = \int_{0}^{\infty} t e^{-st} dt$$

步骤2：选择$u$和$v’$

• 令$u = t$（幂函数，导数$u’ = 1$，降次为常数）；
• 令$v’ = e^{-st}$（指数函数，积分$v = \int e^{-st} dt = -\frac{1}{s} e^{-st}$）。

步骤3：应用分部积分公式

$$\int_{0}^{\infty} t e^{-st} dt = \left. u v \right|{0}^{\infty} – \int{0}^{\infty} v u’ dt$$
代入$u$、$v$、$u’$：
$$\int_{0}^{\infty} t e^{-st} dt = \left. t \cdot \left( -\frac{1}{s} e^{-st} \right) \right|{0}^{\infty} – \int{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{s} e^{-st} \right) \times 1 dt$$

步骤4：计算边界项（Boundary Term）

分析$\left. -\frac{t}{s} e^{-st} \right|_{0}^{\infty}$：

• 当$t = 0$时：$-\frac{0}{s} e^0 = 0$；
• 当$t \to \infty$时：$e^{-st}$（$s > 0$）衰减速度远快于$t$的增长速度，故$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{s} e^{-st} = 0$；
• 边界项结果为$0 – 0 = 0$。

步骤5：计算剩余积分

剩余积分简化为：
$$- \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{s} e^{-st} \right) dt = \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt$$

由“常数函数”的结果可知$\int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \frac{1}{s}$（$s > 0$），因此：
$$\frac{1}{s} \times \frac{1}{s} = \frac{1}{s^2}$$

特例1结果

$$\mathcal{L}{t} = \frac{1}{s^2} \quad (s > 0, \text{收敛条件})$$

一般情况：$n$为非负整数

步骤1：Recurrence Formula

设$I_n = \mathcal{L}{t^n} = \int_{0}^{\infty} t^n e^{-st} dt$，应用分部积分法：

• 令$u = t^n$，则$u’ = n t^{n-1}$；
• 令$v’ = e^{-st}$，则$v = -\frac{1}{s} e^{-st}$。

代入分部积分公式：
$$I_n = \left. -\frac{t^n}{s} e^{-st} \right|{0}^{\infty} + \frac{n}{s} \int{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-st} dt$$

步骤2：简化边界项

当$s > 0$时，$\lim_{t \to \infty} t^n e^{-st} = 0$（指数衰减快于幂次增长），且$t = 0$时该项为0，因此边界项为0：
$$I_n = \frac{n}{s} I_{n-1}$$

步骤3：展开递推公式

• $I_n = \frac{n}{s} I_{n-1}$；
• $I_{n-1} = \frac{n-1}{s} I_{n-2}$，代入得$I_n = \frac{n(n-1)}{s^2} I_{n-2}$；
• 继续递推，直到$I_0 = \mathcal{L}{t^0} = \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s}$（因$t^0 = 1$，常数函数结果）。

最终展开为：
$$I_n = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots 1}{s^n} \times I_0 = \frac{n!}{s^n} \times \frac{1}{s} = \frac{n!}{s^{n+1}}$$
（$n!$：$n$的阶乘（Factorial），定义为$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$）

特例2：$n = 4$，即$f(t) = t^4$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$，代入一般结果：
$$\mathcal{L}{t^4} = \frac{4!}{s^{4+1}} = \frac{24}{s^5}$$

最终结果

$$\mathcal{L}{t^n} = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad (s > 0, \text{收敛条件})$$

• 特例$n = 1$：$\mathcal{L}{t} = \frac{1}{s^2}$；
• 特例$n = 4$：$\mathcal{L}{t^4} = \frac{24}{s^5}$。

4. Trigonometric Functions：$f(t) = \sin\omega t$与$f(t) = \cos\omega t$

基础工具：Euler’s Formula

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, \quad e^{-i\theta} = \cos\theta – i\sin\theta$$
通过欧拉公式可解出三角函数：
$$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}, \quad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$

4.1 $f(t) = \sin\omega t$的拉普拉斯变换

步骤1：用欧拉公式表示$\sin\omega t$

令$\theta = \omega t$，则：
$$\sin\omega t = \frac{e^{i\omega t} – e^{-i\omega t}}{2i}$$

步骤2：代入拉普拉斯变换定义式

利用拉普拉斯变换的 Linearity Property：$\mathcal{L}{af(t) + bg(t)} = a\mathcal{L}{f(t)} + b\mathcal{L}{g(t)}$，可得：
$$\mathcal{L}{\sin\omega t} = \frac{1}{2i} \left[ \mathcal{L}{e^{i\omega t}} – \mathcal{L}{e^{-i\omega t}} \right]$$

步骤3：代入指数函数变换结果

由“指数函数”推导可知：
$$\mathcal{L}{e^{i\omega t}} = \frac{1}{s – i\omega}, \quad \mathcal{L}{e^{-i\omega t}} = \frac{1}{s + i\omega}$$

代入得：
$$\mathcal{L}{\sin\omega t} = \frac{1}{2i} \left[ \frac{1}{s – i\omega} – \frac{1}{s + i\omega} \right]$$

步骤4：化简表达式

（1）通分计算差值

$$\frac{1}{s – i\omega} – \frac{1}{s + i\omega} = \frac{(s + i\omega) – (s – i\omega)}{(s – i\omega)(s + i\omega)}$$

（2）化简分母（平方差公式）

平方差公式：$(a – b)(a + b) = a^2 – b^2$，此处$a = s$，$b = i\omega$，且$i^2 = -1$：
$$(s – i\omega)(s + i\omega) = s^2 – (i\omega)^2 = s^2 – (-1)\omega^2 = s^2 + \omega^2$$

（3）化简分子

$$(s + i\omega) – (s – i\omega) = 2i\omega$$

（4）最终化简

$$\mathcal{L}{\sin\omega t} = \frac{1}{2i} \times \frac{2i\omega}{s^2 + \omega^2} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$

收敛条件

需满足$\mathcal{L}{e^{i\omega t}}$和$\mathcal{L}{e^{-i\omega t}}$的收敛条件，即$s > 0$。

4.2 $f(t) = \cos\omega t$的拉普拉斯变换

步骤1：用欧拉公式表示$\cos\omega t$

令$\theta = \omega t$，则：
$$\cos\omega t = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}$$

步骤2：代入拉普拉斯变换定义式

利用线性性质：
$$\mathcal{L}{\cos\omega t} = \frac{1}{2} \left[ \mathcal{L}{e^{i\omega t}} + \mathcal{L}{e^{-i\omega t}} \right]$$

步骤3：代入指数函数变换结果

$$\mathcal{L}{\cos\omega t} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{s – i\omega} + \frac{1}{s + i\omega} \right]$$

步骤4：化简表达式

（1）通分计算和

$$\frac{1}{s – i\omega} + \frac{1}{s + i\omega} = \frac{(s + i\omega) + (s – i\omega)}{s^2 + \omega^2} = \frac{2s}{s^2 + \omega^2}$$

（2）最终化简

$$\mathcal{L}{\cos\omega t} = \frac{1}{2} \times \frac{2s}{s^2 + \omega^2} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$$

收敛条件

与$\sin\omega t$一致，$s > 0$。

最终结果

1. $\sin\omega t$：
   $$\mathcal{L}{\sin\omega t} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \quad (s > 0, \text{收敛条件})$$
2. $\cos\omega t$：
   $$\mathcal{L}{\cos\omega t} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \quad (s > 0, \text{收敛条件})$$

5. 双曲函数（Hyperbolic Functions）：$f(t) = \sinh\omega t$与$f(t) = \cosh\omega t$

基础：双曲函数定义（Definition of Hyperbolic Functions）

$$\sinh\omega t = \frac{e^{\omega t} – e^{-\omega t}}{2}, \quad \cosh\omega t = \frac{e^{\omega t} + e^{-\omega t}}{2}$$

• $\sinh$：双曲正弦（Hyperbolic Sine）
• $\cosh$：双曲余弦（Hyperbolic Cosine）

5.1 $f(t) = \sinh\omega t$的拉普拉斯变换

步骤1：代入拉普拉斯变换定义式

利用线性性质：
$$\mathcal{L}{\sinh\omega t} = \frac{1}{2} \left[ \mathcal{L}{e^{\omega t}} – \mathcal{L}{e^{-\omega t}} \right]$$

步骤2：代入指数函数变换结果

由“指数函数”推导可知：
$$\mathcal{L}{e^{\omega t}} = \frac{1}{s – \omega}, \quad \mathcal{L}{e^{-\omega t}} = \frac{1}{s + \omega}$$

代入得：
$$\mathcal{L}{\sinh\omega t} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{s – \omega} – \frac{1}{s + \omega} \right]$$

步骤3：化简表达式

通分计算差值：
$$\frac{1}{s – \omega} – \frac{1}{s + \omega} = \frac{2\omega}{s^2 – \omega^2}$$

因此：
$$\mathcal{L}{\sinh\omega t} = \frac{1}{2} \times \frac{2\omega}{s^2 – \omega^2} = \frac{\omega}{s^2 – \omega^2}$$

收敛条件

需同时满足$\mathcal{L}{e^{\omega t}}$（$s > \omega$）和$\mathcal{L}{e^{-\omega t}}$（$s > -\omega$）的收敛条件，即$s > |\omega|$（$|\omega|$为$\omega$的绝对值（Absolute Value））。

5.2 $f(t) = \cosh\omega t$的拉普拉斯变换

步骤1：代入拉普拉斯变换定义式

利用线性性质：
$$\mathcal{L}{\cosh\omega t} = \frac{1}{2} \left[ \mathcal{L}{e^{\omega t}} + \mathcal{L}{e^{-\omega t}} \right]$$

步骤2：代入指数函数变换结果

$$\mathcal{L}{\cosh\omega t} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{s – \omega} + \frac{1}{s + \omega} \right]$$

步骤3：化简表达式

通分计算和：
$$\frac{1}{s – \omega} + \frac{1}{s + \omega} = \frac{2s}{s^2 – \omega^2}$$

因此：
$$\mathcal{L}{\cosh\omega t} = \frac{1}{2} \times \frac{2s}{s^2 – \omega^2} = \frac{s}{s^2 – \omega^2}$$

收敛条件

与$\sinh\omega t$一致，$s > |\omega|$。

最终结果

1. $\sinh\omega t$：
   $$\mathcal{L}{\sinh\omega t} = \frac{\omega}{s^2 – \omega^2} \quad (s > |\omega|, \text{收敛条件})$$
2. $\cosh\omega t$：
   $$\mathcal{L}{\cosh\omega t} = \frac{s}{s^2 – \omega^2} \quad (s > |\omega|, \text{收敛条件})$$

6. 单位阶跃函数（Heaviside Function/Unit Step Function）：$u(t – a)$（$a \geq 0$）

基础：单位阶跃函数定义

$$u(t – a) = \begin{cases} 0, & t < a \ 1, & t \geq a \end{cases}$$

• $t < a$：阶跃前（Pre-step），函数值为0；
• $t \geq a$：阶跃后（Post-step），函数值为1；
• $a$：阶跃时刻（Step Time）。

步骤1：代入拉普拉斯变换定义式

拉普拉斯变换积分区间为$[0, \infty)$，根据分段定义拆分积分（积分区间拆分（Interval Splitting））：
$$\mathcal{L}{u(t – a)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} u(t – a) dt = \int_{0}^{a} e^{-st} u(t – a) dt + \int_{a}^{\infty} e^{-st} u(t – a) dt$$

步骤2：分别计算两个积分

（1）第一部分积分：$\int_{0}^{a} e^{-st} u(t – a) dt$

当$t \in [0, a)$时，$u(t – a) = 0$（定义），因此：
$$\int_{0}^{a} e^{-st} \times 0 dt = \int_{0}^{a} 0 dt = 0$$

（2）第二部分积分：$\int_{a}^{\infty} e^{-st} u(t – a) dt$

当$t \in [a, \infty)$时，$u(t – a) = 1$（定义），因此：
$$\int_{a}^{\infty} e^{-st} \times 1 dt = \int_{a}^{\infty} e^{-st} dt$$

步骤3：计算第二部分积分

（1）应用指数积分公式

$$\int e^{-st} dt = -\frac{1}{s} e^{-st} + C$$

（2）代入牛顿-莱布尼茨公式

$$\int_{a}^{\infty} e^{-st} dt = \left. -\frac{1}{s} e^{-st} \right|_{a}^{\infty} = \left( -\frac{1}{s} e^{-s \cdot \infty} \right) – \left( -\frac{1}{s} e^{-s \cdot a} \right)$$

步骤4：分析收敛条件

需满足$\lim_{t \to \infty} e^{-st} = 0$，即$s > 0$，此时：
$$\int_{a}^{\infty} e^{-st} dt = 0 – \left( -\frac{1}{s} e^{-as} \right) = \frac{e^{-as}}{s}$$

步骤5：总积分结果

第一部分积分为0，因此：
$$\mathcal{L}{u(t – a)} = 0 + \frac{e^{-as}}{s} = \frac{e^{-as}}{s}$$

特例：$a = 0$，即$u(t) = u(t – 0)$

当$a = 0$时，$u(t)$的定义为：
$$u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \ 1, & t \geq 0 \end{cases}$$

代入一般结果，$a = 0$，$e^{-s \cdot 0} = 1$，因此：
$$\mathcal{L}{u(t)} = \frac{1}{s}$$
（与常数函数$f(t) = 1$结果一致，因拉普拉斯变换仅关注$t \geq 0$，而$t \geq 0$时$u(t) = 1$）

最终结果

1. 一般情况$u(t – a)$：
   $$\mathcal{L}{u(t – a)} = \frac{e^{-as}}{s} \quad (s > 0, \text{收敛条件})$$
2. 特例$u(t)$（$a = 0$）：
   $$\mathcal{L}{u(t)} = \frac{1}{s} \quad (s > 0, \text{收敛条件})$$