Laplace Transform 是解决线性微分方程 Linear Ordinary Differential Equation, ODE 和 Partial Differential Equation, PDE 的核心工具，能将复杂的微积分运算转化为简单的代数运算，在材料科学、化工、电子等领域广泛应用.
I Key Concepts
1. Purpose
- 将 time domain 的函数 \(f(t)\) 转化为 frequency domain 的函数 \(F(s)\)，把微分方程 differential equation 转化为 algebraic equation，简化求解
2. Definition
拉普拉斯变换的数学定义为：
$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$$
- 关键符号说明：
- \(\mathcal{L}\)：拉普拉斯变换算子（Laplace transform operator）
- \(f(t)\)：时域函数（time domain function），小写字母表示
- \(F(s)\)：拉普拉斯变换结果（Laplace transform），对应大写字母表示
- \(s = \sigma + i\omega\)：复变量（complex variable），\(\sigma\) 为实部（real part，与指数衰减 / 增长相关），\(\omega\) 为角频率（angular frequency，单位 rad/s，与振荡相关）
- \(e^{-st} = e^{-\sigma t} e^{-i\omega t}\)：核函数（kernel function），\(e^{-\sigma t}\) 是指数衰减项（exponential decay term），\(e^{-i\omega t} = \cos\omega t + i\sin\omega t\)（欧拉公式，Euler’s formula）是振荡项（oscillation term）
二、Basic Laplace Transform Calculations
1. Common Functions
（1）Constant Function：\(f(t) = 1\)（\(t \geq 0\)）
\(\mathcal{L}\{1\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \frac{1}{s} \quad (s > 0, \text{收敛条件convergence condition})\)
（2）Exponential Function：\(f(t) = e^{at}\)（\(a > 0\)）
\(\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} dt = \frac{1}{s – a} \quad (s > a, \text{收敛条件})\)
- 推论：\(f(t) = e^{-at}\) 时，\(\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \frac{1}{s + a} \quad (s > -a)\)
（3）Power Function：\(f(t) = t^n\)（n 为非负整数）
\(\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad (s > 0)\)
- 特例：\(n=1\) 时，\(\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}\)；\(n=4\) 时，\(\mathcal{L}\{t^4\} = \frac{24}{s^5}\)
（4）Trigonometric Functions
\(\mathcal{L}\{\sin\omega t\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \quad \mathcal{L}\{\cos\omega t\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \quad (s > 0)\)
（5）Hyperbolic Functions
\(\mathcal{L}\{\sinh\omega t\} = \frac{\omega}{s^2 – \omega^2}, \quad \mathcal{L}\{\cosh\omega t\} = \frac{s}{s^2 – \omega^2} \quad (s > |\omega|)\)
（6）Heaviside Function/Unit Step Function：\(u(t – a)\)
定义：\(u(t – a) = \begin{cases} 0, & t < a \\ 1, & t \geq a \end{cases}\)（\(a \geq 0\)）
\(\mathcal{L}\{u(t – a)\} = \frac{e^{-as}}{s} \quad (s > 0)\)
- 特例：\(a=0\) 时，\(u(t)\) 为单位阶跃函数，\(\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}\)
2. Key Properties
（1）Linearity
对常数 \(a, b\)，有：
\(\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = a\mathcal{L}\{f(t)\} + b\mathcal{L}\{g(t)\}\)
\(\mathcal{L}^{-1}\{aF(s) + bG(s)\} = a\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} + b\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}\)
- 应用：拆分复杂函数为基本函数的线性组合，分别求变换。
（2）Shift Theorem
- 时域平移（Time Shift）：\(\mathcal{L}\{f(t – a)u(t – a)\} = e^{-as}F(s)\)（\(a \geq 0\)）
- 频域平移（Frequency Shift）：\(\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s + a)\)
- 推论：\(\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s – a)\)
- 应用：处理含指数函数与其他函数乘积的情况，如 \(\mathcal{L}\{e^{-at}\cos\omega t\} = \frac{s + a}{(s + a)^2 + \omega^2}\)
三、Inverse Laplace Transform
1. Definition
若 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)，则逆变换为：
\(\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)\)
- 核心方法：查表法（Table Lookup）+ 部分分式分解（Partial Fractions）
2. Partial Fractions
（1）适用场景
当 \(F(s) = \frac{N(s)}{D(s)}\)（有理函数），且 \(\deg(N(s)) < \deg(D(s))\) 时，分解为简单分式：
- distinct linear factors（ distinct linear factors）：\(\frac{N(s)}{(s – a)(s – b)} = \frac{A}{s – a} + \frac{B}{s – b}\)
- 重复线性因式（Repeated Linear Factors）：\(\frac{N(s)}{(s – a)^2} = \frac{A}{s – a} + \frac{B}{(s – a)^2}\)
- 不可约二次因式（Irreducible Quadratic Factors）：\(\frac{N(s)}{(s^2 + \omega^2)(s – a)} = \frac{As + B}{s^2 + \omega^2} + \frac{C}{s – a}\)
（2）示例
求 \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^2 + s + 1}{s(s^2 + 1)}\right\}\)：
- 分解：\(\frac{s^2 + s + 1}{s(s^2 + 1)} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2 + 1}\)
- 查表逆变换：\(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1\)，\(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + 1}\right\} = \sin t\)
- 结果：\(1 + \sin t\)
四、Transforming Derivatives
1. Core Formulas
设 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)，则：
- First Derivative：\(\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = sF(s) – f(0)\)
- Second Derivative：\(\mathcal{L}\left\{\frac{d^2f}{dt^2}\right\} = s^2F(s) – sf(0) – f'(0)\)
- Third Derivative：\(\mathcal{L}\left\{\frac{d^3f}{dt^3}\right\} = s^3F(s) – s^2f(0) – sf'(0) – f”(0)\)
- 关键：自动包含 initial conditions，无需单独求解 homogeneous solution 和 particular solution
2. 验证示例（Verification Example）
若 \(f(t) = \sin t\)，则 \(f(0) = 0\)，\(\mathcal{L}\{\sin t\} = \frac{1}{s^2 + 1}\)：
\(\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s \cdot \frac{1}{s^2 + 1} – 0 = \frac{s}{s^2 + 1} = \mathcal{L}\{\cos t\}\)
- 符合预期，验证公式正确性。
五、用拉普拉斯变换解 ODE（Solving ODEs Using Laplace Transforms）
1. 三步法（Three-Step Method）
- 对 ODE 两边取拉普拉斯变换（Take Laplace Transform on Both Sides），转化为代数方程；
- 代入初始条件（Substitute Initial Conditions），解出 \(F(s)\)；
- 对 \(F(s)\) 取逆拉普拉斯变换（Take Inverse Laplace Transform），得到 \(f(t)\)。
2. 一阶 ODE 示例（First-Order ODE Example）
求解：\(\frac{dx}{dt} = 3x + 6\)，\(x(0) = 2\)
- 变换：\(sX(s) – x(0) = 3X(s) + \frac{6}{s}\)
- 代入初始条件：\(sX(s) – 2 = 3X(s) + \frac{6}{s}\)，整理得 \(X(s) = \frac{2s + 6}{s(s – 3)}\)
- 部分分式分解：\(X(s) = -\frac{2}{s} + \frac{4}{s – 3}\)
- 逆变换：\(x(t) = -2 + 4e^{3t}\)
3. 二阶 ODE 示例（Second-Order ODE Example）
求解：\(\frac{d^2x}{dt^2} + x = \cos2t\)，\(x(0) = 0\)，\(x'(0) = 1\)
- 变换：\(s^2X(s) – sx(0) – x'(0) + X(s) = \frac{s}{s^2 + 4}\)
- 代入初始条件：\(s^2X(s) – 1 + X(s) = \frac{s}{s^2 + 4}\)，整理得 \(X(s) = \frac{s^2 + s + 4}{(s^2 + 4)(s^2 + 1)}\)
- 部分分式分解：\(X(s) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{s}{s^2 + 1} + \frac{1}{s^2 + 1}\)
- 逆变换：\(x(t) = \frac{1}{3}\cos t + \sin t – \frac{1}{3}\cos2t\)
六、非考内容简要说明（Non-Examinable Content）
1. 积分的拉普拉斯变换（Transforming Integrals）
\(\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}\)
- 逆变换：\(\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\)
2. 传递函数（Transfer Functions）
定义：系统输入（input）\(f(t)\) 与输出（output）\(x(t)\) 的拉普拉斯变换之比，即 \(Q(s) = \frac{X(s)}{F(s)}\)
- 应用：分析线性系统的稳态行为（steady-state behavior），如简谐运动（simple harmonic motion）系统。
七、考试公式总结表（Exam Formula Sheet）
1. 定义类（Definitions）
| 名称 | 公式 | 备注 |
|---|---|---|
| 拉普拉斯变换 | \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\) | \(s = \sigma + i\omega\) |
| 逆拉普拉斯变换 | \(\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)\) | 查表 + 部分分式 |
2. 基本变换（Basic Transforms）
| 时域函数 \(f(t)\) | 拉普拉斯变换 \(F(s)\) | 收敛条件 |
|---|---|---|
| 1（常数函数） | \(\frac{1}{s}\) | \(s > 0\) |
| \(e^{at}\) | \(\frac{1}{s – a}\) | \(s > a\) |
| \(e^{-at}\) | \(\frac{1}{s + a}\) | \(s > -a\) |
| \(t^n\)（n 为非负整数） | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) | \(s > 0\) |
| \(\sin\omega t\) | \(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\) | \(s > 0\) |
| \(\cos\omega t\) | \(\frac{s}{s^2 + \omega^2}\) | \(s > 0\) |
| \(\sinh\omega t\) | \(\frac{\omega}{s^2 – \omega^2}\) | \(s > |\omega|\) |
| \(\cosh\omega t\) | \(\frac{s}{s^2 – \omega^2}\) | \(s > |\omega|\) |
| \(u(t – a)\)（单位阶跃函数） | \(\frac{e^{-as}}{s}\) | \(s > 0\)，\(a \geq 0\) |
3. 核心性质（Key Properties）
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 线性性质 | \(\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)\) |
| 频域平移 | \(\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s + a)\) |
| 时域平移 | \(\mathcal{L}\{f(t – a)u(t – a)\} = e^{-as}F(s)\) |
4. 导数变换（Derivative Transforms）
| 导数阶数 | 公式 |
|---|---|
| 一阶导数 | \(\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = sF(s) – f(0)\) |
| 二阶导数 | \(\mathcal{L}\left\{\frac{d^2f}{dt^2}\right\} = s^2F(s) – sf(0) – f'(0)\) |
| 三阶导数 | \(\mathcal{L}\left\{\frac{d^3f}{dt^3}\right\} = s^3F(s) – s^2f(0) – sf'(0) – f”(0)\) |
5. 积分变换（Integral Transform，非考）
\(\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}\)
八、考试易错点（Exam Common Mistakes）
- 符号错误（Sign Errors）：
- 导数变换中初始条件的符号：二阶导数公式是 \(s^2F(s) – sf(0) – f'(0)\)，勿漏负号；
- 频域平移定理：\(\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s + a)\)，不是 \(F(s – a)\)。
- 收敛条件（Convergence Conditions）：
- 忘记标注收敛条件（如 \(s > 0\)），虽不影响计算，但考试可能扣分；
- 忽略 \(e^{-st} \to 0\)（\(t \to \infty\)）的前提是 \(s > 0\)，否则积分发散（diverge）。
- 部分分式分解错误（Partial Fractions Mistakes）：
- 分子次数高于分母时，未先做多项式除法（polynomial division）；
- 不可约二次因式分解时，分子误写为常数（应为一次多项式 \(As + B\)）。
- 书写混淆（Notation Confusion）：
- 字母 s（complex variable）与数字 5 书写区分，避免阅卷误判；
- 时域函数（小写 \(f(t)\)）与频域函数（大写 \(F(s)\)）大小写混淆。
- 初始条件代入（Initial Conditions Substitution）：
- 解 ODE 时，忘记代入初始条件直接求逆变换，导致结果错误；
- 初始条件为非零值时，计算代数方程时出错（建议分步整理）。
- 线性性质误用（Linearity Misuse）：
- 误认为 \(\mathcal{L}\{f(t)g(t)\} = F(s)G(s)\)（错误！拉普拉斯变换不满足乘积性质）。
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