2D 拉普拉斯方程（矩形板稳态温度分布）完整解题过程

一、题目背景与已知条件（Input）

1. 物理场景

有一块矩形板（rectangular plate），尺寸为：沿 x 轴从 0 到a，沿 y 轴从 0 到b（即\(0 \leq x \leq a\)，\(0 \leq y \leq b\)）。

• 三边温度固定为\(0^\circ C\)：左边界（\(x=0\)）、右边界（\(x=a\)）、下边界（\(y=0\)）；
• 顶边界（\(y=b\)）温度固定为\(1^\circ C\)；
• 系统处于稳态（steady-state）：温度不随时间变化（\(\frac{\partial u}{\partial t}=0\)），因此温度分布\(\phi(x,y)\)（\(\phi\)为标量函数，scalar function）满足2D 拉普拉斯方程（2D Laplace’s Equation）

这里可能有疑问，为什么要强调是稳态呢，其实是为了从热传导方程简化为拉普拉斯方程.

在二维空间中，温度场 T(x,y,t) 的变化遵循热传导方程（Heat Conduction Equation），也叫热扩散方程（Heat Diffusion Equation）：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right)$$

当系统达到稳态（Steady-State）时，温度不再随时间变化，即：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = 0$$

代入热传导方程，得到：

$$0 = \alpha \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right)$$

因为 $\alpha \neq 0$（热扩散系数不为零），所以：

$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$$

这就是二维拉普拉斯方程（2D Laplace’s Equation）：

$$\nabla^2 T = 0$$

我们下面要做的就是根据边界条件解拉普拉斯方程.

2. 数学方程与边界条件

• 2D 拉普拉斯方程：\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0\)（核心 PDE，Partial Differential Equation）；
• 边界条件（Boundary Conditions, BCs）：
  1. \(\phi(0, y) = 0\)（左边界，\(0 \leq y \leq b\)）
  2. \(\phi(a, y) = 0\)（右边界，\(0 \leq y \leq b\)）
  3. \(\phi(x, 0) = 0\)（下边界，\(0 \leq x \leq a\)）
  4. \(\phi(x, b) = 1\)（顶边界，\(0 \leq x \leq a\)）

3. 求解目标

找到满足上述方程和边界条件的温度分布\(\phi(x,y)\)（即稳态下板上任意点\((x,y)\)的温度）

二、核心方法：分离变量法（Separation of Variables）

方法本质

将 “x 和 y 混在一起的 PDE” 拆成 “仅含 x 的常微分方程（ODE, Ordinary Differential Equation）” 和 “仅含 y 的 ODE”，分别求解后再合并，最后用边界条件确定常数

三、完整解题步骤（Algorithm）

步骤 1：假设解的形式（分离变量的关键假设）

由于方程是 “线性齐次” 的，且边界条件是 “分离的”（x 方向和 y 方向的条件互不干扰），我们假设解为x 的函数与 y 的函数的乘积：

\(\phi(x,y) = X(x) \cdot Y(y)\)

• 其中\(X(x)\)仅依赖 x（与 y 无关），\(Y(y)\)仅依赖 y（与 x 无关）—— 这是分离变量法的核心假设，目的是拆分变量。

步骤 2：代入拉普拉斯方程，分离变量

第一步：计算偏导数（高中导数知识）

• 对 x 的二阶偏导：\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = X”(x) \cdot Y(y)\)（Y 不依赖 x，视为常数，仅对 X 求二阶导数\(X”\)）；
• 对 y 的二阶偏导：\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = X(x) \cdot Y”(y)\)（X 不依赖 y，视为常数，仅对 Y 求二阶导数\(Y”\)）。

第二步：代入 PDE，整理方程

将偏导数代入拉普拉斯方程\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0\)：

\(X” Y + X Y” = 0\)

第三步：分离变量（关键一步）

将含 x 的项和含 y 的项移到等式两边，两边同时除以\(X \cdot Y\)（\(X \neq 0\)、\(Y \neq 0\)，否则是 “全零解” trivial solution，无物理意义）：

\(\frac{X”}{X} = -\frac{Y”}{Y}\)

第四步：设 “分离常数（Separation Constant）”

左边仅含 x，右边仅含 y，要让两者对所有 x 和 y 都相等，只能都等于同一个常数（记为\(\alpha\)）。为了方便判断解的合理性，我们后续会将\(\alpha\)拆成 “0、正数、负数” 三种情况讨论，暂时先保留\(\alpha\)：

\(\frac{X”}{X} = \alpha \quad \text{和} \quad -\frac{Y”}{Y} = \alpha\)

为什么这两边要等于一个常数？

因为等式左边仅依赖 𝑥，右边仅依赖 𝑦，要使等式对所有 x 和 𝑦 都成立，两边必须都等于同一个常数，这也就是分离常数 α.

整理得到两个独立的 ODE（x 方向和 y 方向分开了！）：

1. x 方向 ODE：\(X” – \alpha X = 0\)；
2. y 方向 ODE：\(Y” + \alpha Y = 0\)。

步骤 3：分情况讨论分离常数\(\alpha\)（关键！排除不合理解）

不同的符号对应不同类型的解：

1. 当 $\alpha > 0$ 时： $X(x)$ 的解的形式：双曲函数（$\cosh, \sinh$） ；$Y(y)$ 的解的形式：三角函数（$\sin, \cos$）

2. 当 $\alpha = 0$ 时： $X(x)$ 的解的形式：线性函数（$Ax + B$） ； $Y(y)$ 的解的形式：线性函数（$Cy + D$）

3. 当 $\alpha < 0$ 时： $X(x)$ 的解的形式：三角函数（$\sin, \cos$） ；$Y(y)$ 的解的形式：双曲函数（$\cosh, \sinh$）

情况 1：\(\alpha = 0\)（常数为零）

此时两个 ODE 简化为：

• x 方向：\(X” = 0\)（二阶 ODE，解为一次函数）；
• y 方向：\(Y” = 0\)（二阶 ODE，解为一次函数）。

第一步：解两个 ODE

• 解\(X” = 0\)：对 x 积分两次，第一次\(X’ = C_1\)（\(C_1\)为常数），第二次\(X(x) = C_1 x + C_2\)（\(C_2\)为常数）；
• 解\(Y” = 0\)：对 y 积分两次，\(Y(y) = C_3 y + C_4\)（\(C_3, C_4\)为常数）。

第二步：合并解，代入边界条件

合并解：\(\phi(x,y) = (C_1 x + C_2)(C_3 y + C_4)\)。

代入边界条件 1（\(\phi(0,y) = 0\)，\(0 \leq y \leq b\)）：

\((C_1 \cdot 0 + C_2)(C_3 y + C_4) = C_2 (C_3 y + C_4) = 0\)

由于\(C_3 y + C_4\)不恒为零（否则 Y (y) 全零，解无意义），因此\(C_2 = 0\)。此时解简化为：

\(\phi(x,y) = C_1 x (C_3 y + C_4) = E x y + F x \quad (E = C_1 C_3, F = C_1 C_4)\)

代入边界条件 3（\(\phi(x,0) = 0\)，\(0 \leq x \leq a\)）：

\(E x \cdot 0 + F x = F x = 0\)

由于 x 不恒为零（否则 x 方向无意义），因此\(F = 0\)。此时解进一步简化为：

\(\phi(x,y) = E x y\)

代入边界条件 2（\(\phi(a,y) = 0\)，\(0 \leq y \leq b\)）：

\(E a y = 0\)

由于 a≠0、y 不恒为零，因此\(E = 0\)。最终解为\(\phi(x,y) = 0\)（全零解，trivial solution），无物理意义（板的温度不可能全为 0，顶边是 1℃），因此丢弃\(\alpha=0\)的情况。

情况 2：\(\alpha > 0\)（常数为正，设\(\alpha = p^2\)，\(p > 0\)）

为了明确 “正数” 的性质，我们将\(\alpha\)记为\(p^2\)（p是正数，避免符号混淆）。此时两个 ODE 为：

• x 方向：\(X” – p^2 X = 0\)（解为双曲函数，hyperbolic functions）；
• y 方向：\(Y” + p^2 Y = 0\)（解为三角函数，trigonometric functions）。

第一步：解两个 ODE（用 “特征方程法”，Characteristic Equation Method）

对于二阶线性齐次常系数 ODE \(A u” + B u’ + C u = 0\)，特征方程为\(A r^2 + B r + C = 0\)，解出根r后可写通解。

• 解 x 方向 ODE \(X” – p^2 X = 0\)：特征方程：\(r^2 – p^2 = 0\) → 根\(r = \pm p\)（两个不等实根）；通解（双曲函数形式，与指数函数等价，方便代入边界条件）：\(X(x) = A \cosh(p x) + B \sinh(p x)\)（注：\(\cosh(p x) = \frac{e^{p x} + e^{-p x}}{2}\)，\(\sinh(p x) = \frac{e^{p x} – e^{-p x}}{2}\)，双曲函数性质：\(\cosh(0)=1\)，\(\sinh(0)=0\)）。
• 解 y 方向 ODE \(Y” + p^2 Y = 0\)：特征方程：\(r^2 + p^2 = 0\) → 根\(r = \pm i p\)（共轭纯虚根，i为虚数单位）；通解（三角函数形式）：\(Y(y) = C \cos(p y) + D \sin(p y)\)

第二步：合并解，代入边界条件

合并解：\(\phi(x,y) = [A \cosh(p x) + B \sinh(p x)] \cdot [C \cos(p y) + D \sin(p y)]\)。

代入边界条件 1（\(\phi(0,y) = 0\)）：

\([A \cosh(0) + B \sinh(0)] \cdot [C \cos(p y) + D \sin(p y)] = A \cdot 1 \cdot [C \cos(p y) + D \sin(p y)] = 0\)

由于\(C \cos(p y) + D \sin(p y)\)不恒为零，因此\(A = 0\)。解简化为：

\(\phi(x,y) = B \sinh(p x) \cdot [C \cos(p y) + D \sin(p y)] = \sinh(p x) \cdot [E \cos(p y) + F \sin(p y)] \quad (E = B C, F = B D)\)

代入边界条件 3（\(\phi(x,0) = 0\)）：

\(\sinh(p x) \cdot [E \cos(0) + F \sin(0)] = \sinh(p x) \cdot E \cdot 1 = 0\)

由于\(\sinh(p x)\)不恒为零（仅当 x=0 时为零，x>0 时非零），因此\(E = 0\)。解进一步简化为：

\(\phi(x,y) = F \sinh(p x) \sin(p y)\)

代入边界条件 2（\(\phi(a,y) = 0\)）：

\(F \sinh(p a) \sin(p y) = 0\)

• \(\sinh(p a) \neq 0\)（因为\(p>0\)、\(a>0\)，双曲函数\(\sinh(z)≠0\)对\(z≠0\)）；
• \(\sin(p y)\)不恒为零（y 在 0 到 b 之间变化，\(\sin(p y)\)不会全为零）；因此只能\(F = 0\)，最终解为\(\phi(x,y) = 0\)（全零解），无物理意义，丢弃\(\alpha>0\)的情况。

情况 3：\(\alpha < 0\)（常数为负，设\(\alpha = -p^2\)，\(p > 0\)）

将负常数记为\(-p^2\)（\(p>0\)，明确符号），此时两个 ODE 为：

• x 方向：\(X” + p^2 X = 0\)（解为三角函数，适配 x 方向的零边界）；
• y 方向：\(Y” – p^2 Y = 0\)（解为双曲函数，适配 y 方向的边界）。

第一步：解两个 ODE（特征方程法）

• 解 x 方向 ODE \(X” + p^2 X = 0\)：特征方程：\(r^2 + p^2 = 0\) → 根\(r = \pm i p\)（共轭纯虚根）；通解（三角函数形式，适配 x=0 和 x=a 的零边界）：\(X(x) = A \cos(p x) + B \sin(p x)\)
• 解 y 方向 ODE \(Y” – p^2 Y = 0\)：特征方程：\(r^2 – p^2 = 0\) → 根\(r = \pm p\)（不等实根）；通解（双曲函数形式，适配 y=0 的零边界）：\(Y(y) = C \cosh(p y) + D \sinh(p y)\)

第二步：合并解，代入边界条件（逐步筛选常数）

合并解：\(\phi(x,y) = [A \cos(p x) + B \sin(p x)] \cdot [C \cosh(p y) + D \sinh(p y)]\)。

代入边界条件 1（\(\phi(0,y) = 0\)，左边界 x=0，温度 0℃）：

将 x=0 代入 X (x)：\(X(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = A\)；

因此\(\phi(0,y) = A \cdot [C \cosh(p y) + D \sinh(p y)] = 0\)；

由于\(C \cosh(p y) + D \sinh(p y)\)不恒为零（否则 Y (y) 全零），因此\(A = 0\)；

解简化为：\(\phi(x,y) = B \sin(p x) \cdot [C \cosh(p y) + D \sinh(p y)]\)。

代入边界条件 3（\(\phi(x,0) = 0\)，下边界 y=0，温度 0℃）：

将 y=0 代入 Y (y)：\(Y(0) = C \cosh(0) + D \sinh(0) = C \cdot 1 + D \cdot 0 = C\)；

因此\(\phi(x,0) = B \sin(p x) \cdot C = 0\)；

由于\(\sin(p x)\)不恒为零（x 在 0 到 a 之间变化），因此\(C = 0\)；

解进一步简化为：\(\phi(x,y) = B \sin(p x) \cdot D \sinh(p y) = E \sin(p x) \sinh(p y)\)（\(E = B \cdot D\)，新常数）。

代入边界条件 2（\(\phi(a,y) = 0\)，右边界 x=a，温度 0℃）：

将 x=a 代入：\(\phi(a,y) = E \sin(p a) \sinh(p y) = 0\)；

• \(\sinh(p y) \neq 0\)（y>0 时非零）；
• \(E \neq 0\)（否则是全零解）；因此必须满足\(\sin(p a) = 0\)；

根据三角函数性质，\(\sin(z) = 0\)当且仅当\(z = n\pi\)（\(n = 1,2,3,…\)，正整数，n=0 时 sin (0)=0，会导致 X (x)=0，全零解）；

因此\(p a = n\pi\) → \(p = \frac{n\pi}{a}\)（n=1,2,3,…）；

将\(p = \frac{n\pi}{a}\)代入解，得到 “单一项解”（对应每个 n 的解）：

\(\phi_n(x,y) = E_n \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right)\)

（\(E_n\)是对应 n 的常数，每个 n 对应一个解）。

第三步：叠加原理（Superposition Principle）求通解

由于拉普拉斯方程是 “线性齐次 PDE”，多个解的线性组合仍是解。因此所有 n 对应的解叠加，得到通解：

\(\phi(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right)\)

步骤 4：代入最后一个边界条件（\(\phi(x,b) = 1\)），求常数\(E_n\)

现在只剩下顶边界（y=b）的条件\(\phi(x,b) = 1\)（温度 1℃），代入通解：

\(1 = \sum_{n=1}^{\infty} E_n \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)\)

关键：转化为傅里叶正弦级数（Fourier Sine Series）

等式右边是\(\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\)的线性组合，符合 “半区间傅里叶正弦级数” 的形式 —— 因为 x 的范围是\(0 \leq x \leq a\)（半区间），且\(\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\)在 x=0 和 x=a 处为零（与边界条件一致）。

对于定义在\(0 \leq x \leq L\)上的函数\(f(x)\)，其傅里叶正弦级数展开为：

\(f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\)

其中系数\(b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx\)（核心公式，需记住！）。

第一步：匹配级数形式

在本题中：

• \(f(x) = 1\)（顶边温度）；
• \(L = a\)（x 的范围长度）；
• 级数系数\(b_n = E_n \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)\)（等式右边的常数部分）。

第二步：计算系数\(b_n\)（分部积分法，Integration by Parts）

根据傅里叶正弦系数公式：

\(b_n = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} 1 \cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx\)

计算积分\(\int \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx\)（高中积分公式：\(\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C\)）：

\(\int_{0}^{a} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx = \left[ -\frac{a}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \right]_{0}^{a}\)

代入上下限\(x=a\)和\(x=0\)：

\(= -\frac{a}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot a}{a}\right) – \left( -\frac{a}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{a}\right) \right)\)

\(= -\frac{a}{n\pi} \cos(n\pi) + \frac{a}{n\pi} \cos(0)\)

利用三角函数性质：\(\cos(0) = 1\)，\(\cos(n\pi) = (-1)^n\)（n 为整数，如 n=1 时 cos (π)=-1，n=2 时 cos (2π)=1）：

\(= -\frac{a}{n\pi} (-1)^n + \frac{a}{n\pi} \cdot 1 = \frac{a}{n\pi} [1 – (-1)^n]\)

因此系数\(b_n\)为：

\(b_n = \frac{2}{a} \cdot \frac{a}{n\pi} [1 – (-1)^n] = \frac{2}{n\pi} [1 – (-1)^n]\)

第三步：求\(E_n\)

由\(b_n = E_n \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)\)，解出\(E_n\)：

\(E_n = \frac{b_n}{\sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)} = \frac{2}{n\pi \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)} [1 – (-1)^n]\)

第四步：简化\(E_n\)（分 n 为奇数 / 偶数）

• 当 n 为偶数时：\((-1)^n = 1\) → \(1 – (-1)^n = 0\) → \(E_n = 0\)（偶数项全为零，可忽略）；
• 当 n 为奇数时：\((-1)^n = -1\) → \(1 – (-1)^n = 2\) → \(E_n = \frac{4}{n\pi \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)}\)（仅奇数项非零）。

步骤 5：得到最终解（Output）

将\(E_n\)代入通解，仅保留奇数项（n=1,3,5,…），最终温度分布为：

\(\phi(x,y) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,…}^{\infty} \frac{1}{n \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right)\)

四、解的验证与物理意义

1. 验证边界条件

• 当 x=0 或 x=a 时：\(\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) = 0\) → \(\phi=0\)（符合左、右边界）；
• 当 y=0 时：\(\sinh(0) = 0\) → \(\phi=0\)（符合下边界）；
• 当 y=b 时：\(\phi(x,b) = \frac{4}{\pi} \sum_{n奇数}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) = 1\)（符合顶边界，傅里叶级数收敛于 1）。

2. 物理意义

• 解由 “无穷多个三角函数 + 双曲函数项” 组成，每个项对应一个 “温度模式”；
• 随着 y 增大（从下到上），\(\sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right)\)增大，温度逐渐从 0℃上升到 1℃（顶边）；
• 随着 n 增大，\(\sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)\)迅速增大，高次项（n 大的项）衰减很快，实际计算时取前几项即可近似。

五、总结：2D 拉普拉斯方程解题步骤（可举一反三）

1. 明确方程与边界条件：确定 PDE（拉普拉斯方程）、自变量范围、各边界的温度 / 势值；
2. 分离变量假设：设\(\phi(x,y) = X(x)Y(y)\)，代入 PDE 分离得到两个 ODE；
3. 分情况讨论分离常数：
   • \(\alpha=0\)、\(\alpha>0\)：通常得到全零解，丢弃；
   • \(\alpha<0\)：得到非零解，保留；
4. 代入边界条件筛选解：利用三角函数 / 双曲函数的零点性质（如\(\sin(n\pi)=0\)、\(\sinh(0)=0\)）确定分离常数p和部分常数；
5. 叠加解并求剩余常数：用傅里叶级数（正弦 / 余弦，根据边界条件选择）求最后一个常数；
6. 得到最终解：整理级数形式，验证边界条件。

六、易错点提醒

1. 双曲函数性质记混：\(\sinh(0)=0\)、\(\cosh(0)=1\)，\(\sinh(z)≠0\)（z≠0），\(\cosh(z)\)永远非零；
2. 分离常数符号错误：\(\alpha<0\)时设为\(-p^2\)（不是\(p^2\)），否则解的形式会反过来，无法匹配边界条件；
3. 傅里叶级数系数计算错误：分部积分时注意u和dv的选择（如\(\int x \sin(kx)dx\)选\(u=x\)，\(dv=\sin(kx)dx\)）；
4. 忽略 n 的取值范围：n 必须是正整数，n=0 会导致全零解，偶数项会消失，仅保留奇数项。