一、假设解的形式

热方程设$u(x,t)=X(x)T(t)$（空间函数 $X(x)$ 与时间函数 $T(t)$ 分离）

拉普拉斯方程设$\phi(x,y)=X(x)Y(y)$（x 方向与 y 方向函数分离）

1D Heat Equation

大部分Heat Equation是1D的，如杆的温度分布.

$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\cdot \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{k^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial t}$$

2D Heat Equation

若温度在平面（如薄板）上变化，需考虑 x、y 两个空间方向，形式为：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)\$$

二、分解为ODEs

将假设解代入PDE，利用 “等式两边仅依赖不同变量” 推出两边等于同一常数 $\alpha$（称为 Eigenvalue）

热方程会分解为 $X^{”} – \alpha X = 0$ 和 $T’ – k^2\alpha T = 0$（k 为 Thermal Diffusivity）

三、Non-physical Solutions

分 $\alpha=0, \alpha>0, \alpha<0$ 三种情况求解 ODEs，结合物理意义筛选：

热方程中 $\alpha>0$ 会导致 $T(t)$ 指数增长（不符合温度衰减），排除；

拉普拉斯方程中半无限区域（如 $y \to \infty$）的 $\alpha>0$ 解无界（不符合稳态温度有限），排除

四、叠加形成级数解

收集 $\alpha<0$ 对应的物理解（称为 Eigenfunctions，如 $\sin(n\pi x/L), \cos(n\pi x/L)$，通过 Superposition Principle 组成 Series Solution