PDEs的分类

Orders

最高阶偏微分的阶数 = $PDE$的阶数

示例：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^3 = 4\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$

方程中最高阶导数为 2 阶$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$和$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$，因此这是2nd order PDE.

Linearity & Homogeneity

• Linearity，幂次→乘积：偏导数和因变量的Exponent决定方程的Linearity，二者的幂次需要均为「1 次」；而自变量的exponent则不影响；此外，Linear要求方程也无因变量和偏导数的乘积，即需因变量及其偏导出现在不同项；除此之外，若含非线性函数如$\sin u$，仍然属于non-linear PDE.
• Homogeneity，自由项：homogeneous的判定标准是「是否存在不包含因变量及其偏导数的 “自由项”」，换言之，方程的所有项都包含因变量（$u$）或其某阶偏导数如$\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$；若包含”自由项“如$x,5,f(x,t)$

Solving PDEs by Seperation of Variables

本质是将多变量PDE分解为多个单变量ODEs.

1D Heat Equation

Heat Equation又称Diffusion Equation，描述温度或浓度随时间和空间的变化.

温度变化率与温度的Laplacian成正比.

Heat Equation的形式与物理意义

3D Heat Equation

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u$$

其中：(u(x,y,z,t))为temperature或concentration，(k>0)为thermal conductivity或diffusivity，(\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2})为Laplacian operator.

Review
Laplacian Operator是标量场的二阶空间导数之和，反映场量在所有空间维度上的“总二阶变化率”，文档中明确其不同维度的表达式.

1D Heat Equation

若温度仅沿x方向变化（如细长杆），则$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，方程简化为：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

部分教材用\(k^2\)代替k，仅为强调常数正性，不影响求解逻辑.

物理意义

温度随时间的变化率（(\frac{\partial u}{\partial t})）与温度的空间二阶导数（(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2})）成正比.

• 若$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} > 0$（温度分布 concave up）：$\frac{\partial u}{\partial t} > 0$，该点温度随时间升高
• 若$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} < 0$（温度分布 concave down）：$frac{\partial u}{\partial t} < 0$，该点温度随时间降低

求解步骤

问题背景：以细长杆温度分布为例

• Boundary conditions

$u(0,t)=0^{\circ} C$（左端恒温0℃）

$u(L,t)=50^{\circ} C$（右端恒温50℃）

• initial condition

$u(x,0)=100x$（初始温度分布）

细长杆长度为$L$，沿$x$轴放置，$0\leq x\leq L,t\geq0$；

• Equation

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

步骤1：假设解的形式

设$u(x,t) = X(x)T(t)$，代入一维热传导方程：

$$X(x)T'(t) = k X”(x)T(t)$$

两边除以(X(x)T(t)k)，分离变量：

$$\frac{X”(x)}{X(x)} = \frac{T'(t)}{k T(t)} = \alpha$$

其中$\alpha$为分离常数，需讨论$\alpha=0,\alpha>0,\alpha<0$三种情况.

步骤2：讨论分离常数$\alpha$的取值

• 情况1：$\alpha=0$，Steady-State Solution

1. $X”(x)=0$：解为$X(x) = C_1x + C_2$；
2. $T'(t)=0$：解为$T(t) = C_3$（常数，无时间依赖）
3. 总解：$u(x,t) = Ax + B$（$A=C_1C_3$，$B=C_2C_3$），代入边界条件$u(0,t)=0$和$u(L,t)=50$，得$B=0$，$A=\frac{50}{L}$，故稳态解为：$u_{\text{steady}}(x) = \frac{50x}{L}$

稳态解：$t\to\infty$时，系统温度不再随时间变化，仅沿空间线性分布.

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Review：Method of Chracteristics

运输方程

示例

步骤总结

Constant Coefficient Homogeneous Differential Equation