Fourier series is a method that can expand a complex periodic function into a sum of basic trigonometric functions (e.g., sine and cosine), and it is widely used to solve differential equations in real-world engineering applications.
Odd and Even Functions
奇偶函数的运算规则是简化傅里叶系数计算的关键.
Definition
- Even Function
对定义域内所有$x$，满足$f(−x)=f(x)$，symmetric about the y-axis.
示例：$f(x)=x^2$, $f(x)=cosx$（余弦函数）, $f(x)=coshx$（双曲余弦函数）
- Odd Function
对定义域内所有$x$，满足$f(-x) = -f(x)$，symmetric about the origin
示例：$f(x)=x$, $f(x)=\sin x$（正弦函数）, $f(x)=\tanh x$（双曲正切函数）
Properties of Odd and Even Functions
Sum
偶函数 + 偶函数 = 偶函数
奇函数 + 奇函数 = 奇函数
偶函数 ± 奇函数 = 既非奇也非偶（除非某一函数恒为 0）
Product
偶函数 × 偶函数 = 偶函数
奇函数 × 奇函数 = 偶函数
偶函数 × 奇函数 = 奇函数
偶函数 ÷ 偶函数 = 偶函数
奇函数 ÷ 奇函数 = 偶函数
偶函数 ÷ 奇函数 = 奇函数（分母≠0）
Derivative
偶函数的导数是奇函数（如$f(x)=x^2$的导数$f'(x)=2x$）
奇函数的导数是偶函数（如$f(x)=x$的导数$f'(x)=1$）
Composition
偶函数复合偶函数 = 偶函数（如$\cos(x^2)$）
奇函数复合奇函数 = 奇函数（如$\sin(x^3)$）
偶函数复合奇函数 = 偶函数（如$\cos(x^3)$）
Tips：关于Neither
- 当 neither 与odd或even函数 相乘 / 相除时，结果通常为 neither，但无绝对必然性；
- 当 neither 与另一个 neither 函数相乘时，可能得到odd或even，并不是任何情况均为 neither
- 最终结果需通过奇偶性定义验证，计算$f(-x)$与$f(x)$、$-f(x)$的关系，不能一概而论
Periodic Functions
Definition
若存在正数$T$（Period），对所有$x$满足$f(x+T)=f(x)$，则$f(x)$为周期函数.
Common Periodic Functions
| Function | Period | Amplitude | Note |
|---|---|---|---|
| \(\sin x\)、\(\cos x\) | \(2\pi\) | 1 （取值范围\([-1,1]\)） | 基本三角函数，傅里叶级数的 “基函数” |
| \(\tan x\) | \(\pi\) | 无（图像无界） | 正切函数的周期是\(\pi\)，而非\(2\pi\) |
| \(\sin(nx)\)、\(\cos(nx)\) | \(\frac{2\pi}{n}\) | 1 | n为正整数，频率与n成正比（周期是\(\sin x\)的\(\frac{1}{n}\)） |
| \(\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\) | 2L | 1 | 全区间傅里叶级数的标准基函数，周期与区间长度L相关 |
Period-Frequency Relation
周期$T$与频率$f$（单位时间内重复次数）互为倒数：$f=\frac{1}{T}$
示例：$\sin(2x)$的周期$T=\pi$，频率是$\sin x$的 2 倍（每$\pi$重复一次）
Full Range Fouries Series
任何周期函数（无论形态复杂，如方波、锯齿波）都可表示为正弦函数（$\sin$）和余弦函数（$\cos$）的无穷叠加.
因此，可以将复杂函数分解为简单的 “基函数”，便于求解微分方程 .
Applicable Scenario
函数$f(x)$定义在对称区间$-L < x < L$ ，且周期为$2L$（即$f(x+2L)=f(x)$）
Series Formula
计算公式
$$f(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right]$$
其中$n$为正整数（$n = 1,2,3, \dots$）
Harmonic Number
在傅里叶级数中，n是正整数变量，用于标记级数中不同频率的正弦和余弦项。
对于项$A_n \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right)$和$B_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right)$，$n$越大，三角函数的 “振荡频率” 越高（比如$n=1$是基波，$n=2$是二次谐波，以此类推）
相关疑问
- 疑问 A：为什么没有\(B_0\)？
根据正弦项系数\(B_n\)的定义 \(B_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right)dx\)，当\(n=0\)时，\(\sin(0)=0\)，因此：
$$B_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cdot 0 \, dx = 0$$
即\(B_0\)恒为 0，所以级数中无需单独列出\(B_0\)项
- 疑问 B：为什么\(A_0\)要除以 2？
傅里叶级数本质上可定义在所有整数n（\(-\infty < n < \infty\)），但若仅取正整数\(n \geq 1\)，需对\(A_n\)、\(B_n\)的系数进行 “加倍补偿”
但\(A_0\)没有正负配对（无\(n=\pm0\)），因此为保持系数一致性，需将\(A_0\)除以 2
Half-Range Fourier Series
当函数仅在Half Interval上定义，如 $0<x<L$，而非完整的对称区间时，我们需要将其扩展为周期为 $2L$ 的Periodic Function，再展开为Fourier Series；
这种仅基于半区间定义、通过扩展得到的傅里叶级数，称为Half Range Fourier Series.
Two Extension Methods
根据边界条件选择扩展方式，核心是 “仅保留正弦或余弦项，简化计算”：
| Extension Type | 适用边界条件 | Series Form | Coefficient Formula |
|---|---|---|---|
| Odd Extension | $f(0)=0$ 如杆的一端固定，位移为 0 | 仅含正弦项： $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ $\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ | $b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$ |
| Even Extension | $f'(0)=0$ 如杆一端无热流，温度梯度为 0 | 仅含余弦项： $f(x)=\frac{a_0}{2} +$ $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ | $a_0 = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) dx$ $a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$ |
考试和工程应用中，需根据boundary conditions选择扩展方式.
Odd Extension
奇函数满足 \(f(0)=0\)（因 \(f(-0) = -f(0) \implies f(0)=0\)），且Fourier series仅含正弦项，计算更简洁
Even Extension
原函数 \(f(x)=x^2\) 在 \(x=0\) 处的导数 \(f'(0)=0\)，Even Extension后函数的导数是Odd function（这是规律，Even的导数为Odd），故 \(f'(0)=0\)（奇函数在 \(x=0\) 处值为 0）；此时Fourier Series仅含余弦项，计算更简洁
公式总结
Fourier 奇偶函数简化技巧
$$f(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right]$$
| 函数类型 | 系数简化结果 | 级数形式 |
|---|---|---|
| Even | \(B_n = 0\)；\(A_0 = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)dx\)；\(A_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx\) | 仅含常数项 + 余弦项 |
| Odd | \(A_0 = 0\)，\(A_n = 0\)；\(B_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx\) | 仅含正弦项 |
| Neither | 无简化，需计算所有系数 |
Useful Integrals Involving Trigonometric Functions
http://www.adso2004.top/index.php/2024/11/08/cmc2024/ 分部积分等初等数学技巧
$\begin{align*} \int x\sin x dx &= -x\cos x + \sin x + C \\ \int x\sin(ax) dx &= -\frac{x\cos(ax)}{a} + \frac{\sin(ax)}{a^2} + C \quad (a\neq0) \\ \int x^2\sin x dx &= (2 – x^2)\cos x + 2x\sin x + C \\ \int x\cos x dx &= x\sin x + \cos x + C \\ \int x\cos(ax) dx &= \frac{x\sin(ax)}{a} + \frac{\cos(ax)}{a^2} + C \quad (a\neq0) \end{align*}$
三角函数取值规律
$\sin(n\pi) = 0$（对所有整数n，Integer n）
$\cos(n\pi)=(-1)^n$（对所有整数n，Integer n）
0 条评论