Lattice Energy $U$

表达式

$$U=E_C+E_A+E_D+E_0$$

Ionic Solids中的Lattice Energy具体数值由四项能量共同决定，核心作用是解释离子晶体的稳定性与结构选择，贡献由大至小，依次是：

• $E_C$：Coulomb Energy

最主要的能量项，占比超过 80%（如 NaCl 中占比约 150/137≈110%，因其他项有正负抵消）
它假设离子为 “静止点电荷”，通过库仑定律计算离子间的静电吸引 / 排斥能，负号表示吸引能（能量降低）

• $E_A$：Repulsion Energy

Electron Cloud相互重叠产生的排斥作用，能量为正值，抵消部分Coulomb Energy（NaCl 中约 – 15，负号表示能量贡献方向与 Ec 相反）

• $E_D$：Dispersion Energy

Instantaneous Dipole引发的弱吸引作用，能量为正值，贡献较小（NaCl 中约 + 3）

• $E_0$：Zero Point Energy

绝对零度下离子仍有的振动能量，能量为负值，贡献极小（NaCl 中约 – 1）

核心决定因素

Coulomb Energy是决定lattice energy的核心因素，其它三项仅作为修正项

Coulomb Energy的计算：从点电荷到离子晶体

Tips

Negative sign表示“吸引作用”（能量降低），正号表示“排斥作用”（能量升高）

$r$，distance between charges，cation或anion两个点电荷中心之间的直线距离

Madelung Constant $A$

Definition

为简化求和项，引入$d$ (the shortest ion-ion distance between anion and cation) ，将所有离子间距$r$表示为：

$$r=kd$$

此时 Coulomb’s Law 改写为：

$$E_C = -\frac{N_A A |z_+||z_-|e^2}{4\pi\varepsilon_0 d}$$

由此定义Madelung Constant：$A = \sum \frac{\text{number of ions at distance } r}{\text{k}}$ (sum of ions divided by their ratio coefficient) .