分母的极限趋势与极限存在性的关系

在分式极限$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$（$a$可为常数或$\pm\infty$）中，分母的极限趋势组合要分为4类取值走向：

• 趋向非0常数

如$g(x)\rightarrow 5$

• 趋向0

如$g(x)\rightarrow 0^{+}$，$g(x)\rightarrow 0^{-}$

• 趋向无穷

如$g(x)\rightarrow +\infty$，$g(x)\rightarrow -\infty$

• 无确定趋势（振荡）

如$g(x)=\sin x$当$x\rightarrow \infty$时，在$[-1,1]$间震荡，无固定走向

分式极限的存在性，即是否能得到一个确定的结果，常数或$\pm\infty$，本质是“分子趋势”与“分母趋势”的匹配关系，对于4种分母的极限趋势，整体分式的极限趋势由分子的极限趋势决定：

分母趋向非0常数

• 若分子趋向非0常数，则分式极限存在
• 若分子趋向无穷，则分式极限趋向无穷
• 若分子无确定趋势，则分式极限不存在

分母趋向0

• 分子趋向于0，则为0/0型不定式
• 分子趋向非0常数，极限不存在或为$\infty$

分母趋向无穷

分式的极限取决于分子与分母的增长快慢

判断增长速度时，只需比较分子、分母的最高次项

• 分子增长速度＜分母增长速度，极限趋近于0
• 分子增长速度=分母增长速度，极限存在且为常数，极限→分子最高次系数/分母最高次系
• 分子增长速度＞分母增长速度，极限趋近于无穷，严格意义上无界
• 分子无确定趋势，如震荡，极限不存在

分母无确定趋势

分母趋向无穷时，若分子无界震荡（如$\tan x$当$x\rightarrow\infty$），则极限不存在

若分子有界震荡（如$\sin x$）），则极限→0，存在