Factorial Notation

基本性质

factorials表示n个不同物品的排列总数

Permutation & Combination

permutation为有序选取，combination为无序选取

factorial的化简

$n! = n(n-1)!$

对于$f(x)=x^n$（$n$为正整数）进行$n$次求导，结果为$n!$

Summation Notation

常见应用

• Mean

若有$N$个数据$x_1, x_2, \cdots, x_N$，均值$\overline{x}$的公式为：

$$\overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i$$

本质是“所有数据之和除以数据个数”

• Infinite Series

求和上限可为$\infty$，表示无限项相加，需判断收敛/发散

例如，指数函数的泰勒展开：

$$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Algebra Rules for Finite Sums

• Sum Rule

$\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=1}^n b_k$

• Difference Rule

$\sum_{k=1}^n(a_k-b_k)=\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^n b_k$

• Constant Multiple Rule

$\sum_{k=1}^n c\cdot a_k=c\cdot\sum_{k=1}^n a_k $（$c$为与$k$无关的常数）

• Constant Value Rule

$\sum_{k=1}^n c=n\cdot c$ （$c$为常数，共加$n$次）

tips：别忘记对数的幂运算法则：$\ln a^b = b \ln a$，因此$\ln n^x = x \ln n$

极限部分

对于分式形式的极限：

1.直接代入

直接得到有限数即可；若分母=0而分子≠0，多为垂直渐近线，检查单侧极限趋于±∞，双侧极限通常不存在

2.出现indeterminate form

0/0, ∞/∞，其余形如 0·∞、∞−∞ 等，通常先通过代数变形转成 0/0 或 ∞/∞ 再处理

(1) Numerical Approximation（不常用）

(2) Factoring and Cancellation（因式分解最常用）

可约的公因子，平方差、立方差

(3) Complex Fraction Simplification

乘以分子里最小分式的最小公分母，消去分子中的分母，再化简

(4) Rationalization with Conjugate

(5) Divide by the Highest Power（同除最高次幂）

对于x→∞的∞/∞型，分子分母同除以 x，再代入极限值

(6) L’Hopital Rule

若以上代数变形很困难，可以直接用洛必达法则
确认极限为0/0或∞/∞后，可直接对分子、分母分别求导，再求极限

3.Re-substitution

消除不定式来源后再代入，通常得到有限值；若仍出现“分母→0 而不可约”，多为无穷间断：检查左右符号判断趋于 [±∞]，双侧极限一般不存在

简约版：
直接代入 → 0/0 吗？→ 因式分解/通分/共轭 → 约分后代入 → 必要时图形法与单侧极限