等价无穷小

等价无穷小替换法（Equivalent Infinitesimal Substitution）在求极限时的适用条件主要有以下几点：

等价无穷小替换法的适用条件

• 变量趋向于同一个极限点

所有涉及的无穷小量都必须在同一个变量趋于同一个点（如$x\to 0$）时成立

• 被替换的表达式必须是无穷小

只有当$f(x)$和$g(x)$都是无穷小（即$x\to a$时$f(x)\to 0$、$g(x)\to 0$），且$f(x)\sim g(x)$（即$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$），才可以相互替换

• 等价无穷小只能用于极限表达式的乘积或商

不能直接用于和、差

例如：$\sin x \sim x$，但$\sin x + x \not\sim 2x$

• 形式要求

只能在极限表达式中用一个无穷小替换另一个等价无穷小，不可随意更换极限点或变量

举例

• $\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$\ln(1+x) \sim x$，当$x\to 0$时成立

错误用法举例

• 不同极限点：$\sin x \sim x$只在$x\to 0$时成立，若$x\to a\neq 0$则不能直接替换
• 不是无穷小：如$x\to\infty$时，$\sin x$不是无穷小，不能用$\sin x\sim x$

总结

等价无穷小替换法的条件：
在同一极限点，表达式中的无穷小量可用与其等价的无穷小替换，仅适用于乘、除结构，且必须保证被替换部分确实是无穷小。