时钟传动范围

在0.1个大气压下，气流能量的传输距离需结合管道阻力、气体特性及流动状态计算。以下基于文档中巴黎气动时钟系统（15-20个大气压传输20英里）的参考数据，结合流体力学理论进行推导：

一、核心假设与公式

1. 压力损失模型
   采用达西-魏斯伯格方程（Darcy-Weisbach equation）计算沿程压力损失：
   $$
   \Delta P = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho v^2}{2}
   $$
   其中：

• ($\Delta P$) 为压力损失（Pa），
• ($f$) 为摩擦系数（取0.02，假设光滑金属管道），
• ($L$) 为管道长度（m），
• ($D$) 为管道直径（m，取0.1m），
• ($\rho$) 为空气密度（1.225 kg/m³，20℃），
• ($v$) 为气流速度（m/s，取10m/s，中等流速）。

1. 气压单位转换
   0.1个大气压 = $(0.1 \times 101325 = 10132.5)$ Pa，假设终端压力为0（即压力全部用于克服阻力）。

二、计算过程

1. 代入已知参数
   $$
   10132.5 = 0.02 \cdot \frac{L}{0.1} \cdot \frac{1.225 \times 10^2}{2}
   $$
2. 化简方程
   右侧计算：
   $$
   0.02 \cdot 10L \cdot \frac{122.5}{2} = 0.02 \cdot 10L \cdot 61.25 = 12.25L
   $$
   方程变为：
   $$
   12.25L = 10132.5
   $$
3. 求解长度 (L)
   $$
   L = \frac{10132.5}{12.25} \approx 827\ \text{m}
   $$

三、关键修正与实际限制

1. 可压缩性影响
   上述计算未考虑气体可压缩性。当压力从0.1atm降低时，气体体积膨胀导致流速增加，阻力损失与流速平方成正比，实际传输距离将缩短。根据气体动力学，等温流动下压力损失与 (P_1^2 – P_2^2) 成正比，若终端压力 $(P_2 = 0.05)$ atm（保留一半压力），则：
   $$
   L \propto (P_1^2 – P_2^2) = (0.1^2 – 0.05^2) = 0.0075\ \text{atm}^2
   $$
   相比完全压力损失$0.1^2 = 0.01\ \text{atm}^2$，距离需乘以系数 $(0.0075/0.01 = 0.75)$，即 $(827 \times 0.75 \approx 620\ \text{m})$
2. 巴黎系统参照
   巴黎系统使用15-20atm气压传输20英里（约32km），若按线性压力损失估算，每公里压力损失为：
   $$
   \frac{20 – 10}{32} = 0.3125\ \text{atm/km} \quad (\text{假设压力从20atm降至10atm})
   $$
   则0.1atm仅能支撑：
   $$
   L = \frac{0.1}{0.3125} = 0.32\ \text{km} = 320\ \text{m}
   $$
   该结果与流体力学计算量级一致，验证了短距离特性。

四、结论

在0.1个大气压下，考虑管道阻力与气体可压缩性，气流能量支撑的传输距离约为300-800米，具体取决于管道直径、材质及流速控制。中世纪技术条件下（如木/陶管道、低气压源），实际距离将更短（可能不足100米），因粗糙管道内壁会显著增加阻力（摩擦系数 (f) 可增至0.1以上），进一步缩短传输距离。

参考文献

file:///D:/ToGer/%E5%86%99%E4%BD%9C/%E4%BF%AE%E9%81%93%E9%99%A2%E8%B0%8B%E6%9D%80%E6%A1%88/reference/%E6%9C%BA%E6%A2%B0/%E6%B0%94%E5%8A%A8%E6%97%B6%E9%92%9F.pdf

文件位置：D:/ToGer/写作/修道院谋杀案/reference/机械/气动时钟