微分中值定理相关题型总结

基于罗尔定理构造辅助函数

1. 原函数法
2. 万能构造
3. 常数$K$值
4. 两次构造
5. 函数转换

原函数法

运用罗尔定理的逆过程，寻找原函数.

运用罗尔定理的过程

$F(a)=F(b) \Rightarrow \exists \xi, F'(\xi)=0\Rightarrow s(\xi)-t(\xi)\Rightarrow s(\xi)=t(\xi)$

逆向过程

$s(x)=t(x) \Rightarrow s(x)-t(x)=0 \Rightarrow \int [s(x)-t(x)]dx=C \Rightarrow F(x)=C$

其中$F(x)$即为辅助函数.

罗尔定理的导函数可以被拆分为两个函数，而$F'(\xi)=0$则给了这两个函数相等的条件，从而可以运用其逆过程证明两个函数相等.

$p(\xi)$是无所谓的，可以进行任意操作，因为很显然它并不影响这个结论.

例题

回顾一下这个流程：先把欲证结论整理为$F(x)=C$的形式，如此一来就有$F'(x)=0$，这其实就是我们要得到的有力工具.

例题

拉格朗日与柯西中值定理

拉格朗日中值定理的几何定理

泰勒中值定理

Refrence

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