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括号类型
Directions use [ ] square brackets
Whether in 2D or 3D, we always use square brackets [ ] to write “crystal directions” .
- In 2D: The lecture says directions are defined as $[u, v]$
- In 3D: The rule is the same—directions are written as $[u, v, w]$
Miller Indices use ( ) round brackets
Miller Indices describe “lines” (in 2D) or “planes” (in 3D)—they always use round brackets ( ), no matter if it’s 2D or 3D.
- In 2D for lines: $(h, k)$
- In 3D for planes: $(h, k, l)$
原点选择
| 分析对象 | 原点能否落在目标上？ | 原因 |
|---|---|---|
| Crystal Direction | 可以 | 方向是平移向量，仅需 “相对移动距离”，与原点绝对位置无关 |
| Miller Indices – 2D 晶线 | 不能 | 需计算晶线与轴的截距，过原点则截距为 0，取倒数为∞，无法得整数指数 |
| Miller Indices – 3D 晶面 | 不能 | 需计算晶面与轴的截距，过原点则截距为 0，取倒数为∞，无法得整数指数 |
Crystal Direction：Origin可以在direction line上
方向的核心是描述晶体中 “原子排列的指向”，本质是平移向量（translation vector）
只需关注crystal axes的相对移动距离”，而非原点的绝对位置，因此原点完全可以落在方向线上
方向的定义与计算逻辑
根据 lecture 内容，方向的数学表达为：
- 2D 方向：\([u, v] = u\underline{a} + v\underline{b}\)，其中 u、v 是沿 a 轴、b 轴的移动单位数 ；
- 3D 方向：\([u, v, w] = u\underline{a} + v\underline{b} + w\underline{c}\)，新增沿 c 轴的移动单位数 w 。
计算方向时，只需选取方向线上两个lattice points ，用后一点坐标减去前一点坐标，再简化为最小整数比即可。即使原点落在方向线上，只要能找到两个不同的晶格点，就能算出 u、v（或 w）
举例
假设某 2D 方向线经过原点（0,0）和晶格点（1,2）：
- 两点坐标差为（1-0, 2-0）=（1,2），无需简化，方向即为 [1 2] ；
- 若原点不在这条线上（比如原点在（0,1）），方向线上另一点为（1,3），坐标差仍为（1,2），方向还是 [1 2]。
可见，原点是否在方向线上，不影响方向的最终结果
因为方向描述的是 “相对移动趋势”，而非 “绝对位置”
Miller Indices：Origin不能在Lattice Lines或Planes上
米勒指数的核心是通过lines或planes与晶轴的intercepts计算而来，若原点落在目标晶线 / 晶面上，会导致截距为 0，后续计算无法得到有效整数指数，因此明确禁止这种操作
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