$\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty-\infty,0\cdot\infty,1^{\infty},0^{0},\infty^0$

$\frac{0}{0}$型求解方法

常规方法：

• 洛必达法则
• 等价无穷小代换
• 泰勒公式

洛必达法则

①当$ x \to x_0 $时，函数$ f(x)$及$F(x) $都趋于零；

②在点$ x_0 $的某去心邻域内，$ f'(x) $及$F'(x) $都存在且$F'(x) \neq 0 $；

③$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{F'(x)} $存在（或为无穷大）．

则$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{F'(x)}$

等价无穷小代换

①基本等价无穷小

当$ x \to 0 $时，$x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim e^x – 1 \sim \ln(1 + x) $，$ 1 – \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $，$(1 + x)^\alpha – 1 \sim \alpha x $，$ a^x – 1 \sim x \ln a $

②扩展的等价无穷小

当$ x \to 0 $时，$ x – \sin x \sim \frac{1}{6}x^3 $，$ \arcsin x – x \sim \frac{1}{6}x^3 $，$ \tan x – x \sim \frac{1}{3}x^3 $，$x – \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3 $，$ x – \ln(1 + x) \sim \frac{1}{2}x^2 $

③加减法中利用等价无穷小替换

• 减法

若$f(x)\sim f_1(x),g(x)\sim g_1(x)$，当且仅当$\lim\frac{f_1(x)}{g_1(x)}=A\ne1$，则

$$f(x)- g(x)\sim f_1(x)-g_1(x)$$

• 加法

若$f(x)\sim f_1(x),g(x)\sim g_1(x)$，当且仅当$\lim\frac{f_1(x)}{g_1(x)}=A\ne-1$，则

$$f(x)+g(x)\sim f_1(x)+g_1(x)$$

泰勒公式

记住常见的泰勒公式（3阶）

$ \sin x = x – \frac{1}{6}x^3 + o(x^3) $

$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3) $

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) $

$\arctan x = x – \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$

$\ln(1 + x) = x – \frac{1}{2}x^2 + o(x^2) $

常见不定式转化

$\infty-\infty$型

通过通分、三角恒等变形转化为$\frac{0}{0}$型

0\times\infty型

转化为$\frac{f(x)}{1/g(x)}$，本质上也是转化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型