Simple Guide to Calculus

Infinite Series

Series Convergence Tests

将数列划分为4个类别：

• Basic：已知其收敛性的series
• Almost basic：非常接近GS和pS的series
• Alternating：
• Weird：

Basic

• Geometric series

$$
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=
\begin{cases}
\frac{a}{1-r}\ \left| r \right| <1\\
diverges\ \left| r \right| \geq 1
\end{cases}
$$

• $p$ series

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}, p > 1
$$

Almost basic

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3+5}}\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3}}$

Set $\sqrt{n^3}$as $n^{\frac{3}{2}}$,

$p>1$, so that the series converges.

• Comparison

$$a_n\leq b_n$$

• Limit Comparison

$$
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=c>0
$$

Alternating

For $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n$ with
1)$b_n$ decreasing
2)$b_n$ positive
3)$\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0$
Then the series converges.

Weird

• Integral Test

$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_n \ converges\ if \ \int_{1}^{\infty}f(x)dx\ converges
$$

• Divergence Test

$$
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\ne 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n \ diverges
$$

• Root Test (for a bunch of messy stuff to the power of $n$)

$$
\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{a_n}=L
$$

• Ratio Test (for $ power$, $factorials$)

$$
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L
$$

Summary

掌握求极限的技巧是学习无穷级数这部分内容的重要前提，因为至少有四类级数收敛性的判断方式涉及求极限。

判断级数是否收敛的核心难点在于：如何选择合适的判断方法？

总的来说，判断级数收敛性一共有8种方法：

• Integral Test
• Divergence Test
• Root Test
• Ratio Test
• Comparison Test
• Limit Comparison Test
• p-series & Geometric-series
• Alternating Test

为了给这8种方法归类，我们将数列大致分为4种类型：